Lavaldüse

Die Eulersche Bewegungsgleichung:

${\displaystyle {\begin{aligned}c\cdot {\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} x}}&=-{\frac {1}{\rho }}\cdot {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}\\&=-{\frac {1}{\rho }}\cdot {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} \rho }}\cdot {\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} x}}\end{aligned}}}$

mit

• der Strömungsgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ des Fluids
• der Koordinate ${\displaystyle x}$ in Strömungsrichtung
• dem Druck ${\displaystyle p}$
• der Dichte ${\displaystyle \rho }$

ergibt zusammen mit der von der Dichte abhängigen Schallgeschwindigkeit ${\displaystyle a={\sqrt {\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} \rho }}}}$:

${\displaystyle c\cdot {\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {a^{2}}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} x}}}$

Einsetzen der Mach-Zahl ${\displaystyle {\mathit {Ma}}={\frac {c}{a}}}$ liefert:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\cdot {\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} x}}=-{\mathit {Ma}}^{2}\cdot {\frac {1}{c}}\cdot {\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} x}}\qquad (1)}$,

Diese Gleichung sagt aus, dass die relative Dichteänderung längs des Stromfadens ${\displaystyle x}$ proportional ist zur relativen Geschwindigkeitsänderung mit dem Proportionalitätsfaktor ${\displaystyle {\mathit {Ma}}^{2}.}$ Aus dem quadratischen Proportionalitätsfaktor folgt, dass

• bei einer Unterschallströmung (${\displaystyle {\mathit {Ma}}<1}$) die relative Dichteänderung (wesentlich) kleiner als die relative Geschwindigkeitsänderung ist
• bei einer Überschallströmung (${\displaystyle {\mathit {Ma}}>1}$) die relative Dichteänderung (wesentlich) größer als die relative Geschwindigkeitsänderung ist.

Ferner muss noch die Kontinuitätsgleichung betrachtet werden:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\rho \cdot c\cdot A&&=\quad {\dot {m}}\quad &={\text{konst}}\\\Leftrightarrow \quad &\ln \rho +\ln c+\ln A&&=\ln({\dot {m}})&=\ln({\text{konst}})\\\Leftrightarrow \quad &{\frac {\mathrm {d} \rho }{\rho }}+{\frac {\mathrm {d} c}{c}}+{\frac {\mathrm {d} A}{A}}&&=0\end{alignedat}}}$

mit

• der Querschnittsfläche ${\displaystyle A}$
• dem Massenstrom ${\displaystyle {\dot {m}}}$

Differenziert man längs des Stromfadens, so ergibt sich

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {1}{\rho }}\cdot {\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{c}}\cdot {\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} x}}+{\frac {1}{A}}\cdot {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} x}}=0}$

Unter Berücksichtigung von Gleichung (1) folgt:

${\displaystyle {\frac {1}{c}}\cdot {\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{{\mathit {Ma}}^{2}-1}}\cdot {\frac {1}{A}}\cdot {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} x}}}$

Lavaldüse

Nimmt man die Querschnittsfläche ${\displaystyle A(x)}$ als gegeben, ${\displaystyle c(x)}$ und ${\displaystyle {\mathit {Ma}}(x)}$ hingegen als unbekannt an, so ermöglicht die letzte Gleichung die folgende qualitative Diskussion der Strömung durch eine Düse.

Will man eine Strömung beschleunigen, also ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} x}}>0}$, so folgt aus der letzten Gleichung die Form der Lavaldüse:

• Einlauf mit Unterschallströmung (${\displaystyle {\mathit {Ma}}<1}$): hier muss ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} x}}<0}$ sein, die Düse muss sich also verengen (konvergenter Teil)
• kurz nach dem engsten Querschnitt wird ${\displaystyle {\mathit {Ma}}=1}$ erreicht
• weitere Beschleunigung auf ${\displaystyle {\mathit {Ma}}>1}$ im Auslauf: hier muss ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} x}}>0}$ sein, die Düse muss sich also erweitern (divergenter Teil).

• Ernst Messerschmid, Stefanos Fasoulas: Raumfahrtsysteme: Eine Einführung mit Übungen und Lösungen. Hrsg.: Springer Vieweg. 5. Auflage. 2017, ISBN 978-3-662-49637-4, S. 199 ff.

• Erich Hahne: Technische Thermodynamik. Einführung und Anwendung, 5. Auflage, Oldenbourg Verlag, München 2010, ISBN 978-3-486-59231-3.
• Herbert Oertel jr., Martin Böhle, Thomas Reviol: Strömungsmechanik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 7. Auflage, Springer Fachmedien, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-07785-3.
• Heinz Schade, Ewald Kunz, Frank Kameier, Christian Oliver Paschereit: Strömungslehre. 4. Auflage, Walter de Gruyter GmbH, Berlin 2013, ISBN 978-3-11-029221-3.

• Venturi-Düse

• Anleitung Lavaldüse auf TU Dresden (abgerufen am 24. März 2016)
• Die Lavaldüse (abgerufen am 24. März 2016)
• Untersuchung der turbulenten Grenzschicht einer Lavaldüse mittels CFD-Modellierung (abgerufen am 24. März 2016)