Laue-Bedingung

Laue-Bedingung

Der Abstand zweier Streuzentren (Gitterpunkte) ist ein Gittervektor ${\displaystyle {\vec {R}}}$. Der Wellenvektor der einfallenden Strahlung sei ${\displaystyle {\vec {k}}}$, der der gestreuten sei ${\displaystyle {\vec {k}}'}$. Damit ergibt sich folgender Gangunterschied (Wegdifferenz):

${\displaystyle \Delta x={\vec {R}}\cdot {\frac {\vec {k}}{k}}-{\vec {R}}\cdot {\frac {{\vec {k}}'}{k'}}}$

Für konstruktive Interferenz muss der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ${\displaystyle \lambda }$ sein:

${\displaystyle \Delta x=m\lambda ,\quad m\in \mathbb {Z} }$

Gleichsetzen liefert:

${\displaystyle {\vec {R}}\cdot \left({\frac {\vec {k}}{k}}-{\frac {{\vec {k}}'}{k'}}\right)=m\lambda }$

Geht man von elastischer Streuung aus, ist die Wellenzahl des einfallenden und des reflektierten Strahls gleich: ${\displaystyle k=k'={\frac {2\pi }{\lambda }}}$. Für alle Gittervektoren ${\displaystyle {\vec {R}}}$ muss gelten:

${\displaystyle {\vec {R}}\cdot \left({\vec {k}}-{\vec {k}}'\right)=2\pi m}$   bzw. äquivalent   ${\displaystyle e^{i\,{\vec {R}}\cdot ({\vec {k}}-{\vec {k}}')}=1}$

Dies entspricht genau der Bestimmungsgleichung für reziproke Gittervektoren ${\displaystyle {\vec {K}}}$:[1]

${\displaystyle e^{i\,{\vec {R}}\cdot {\vec {K}}}=1}$

Die Laue-Bedingung lautet somit: Man erhält genau dann konstruktive Interferenz, wenn die Änderung des Wellenvektors beim Streuprozess einem reziproken Gittervektor entspricht.

${\displaystyle {\vec {k}}-{\vec {k}}'={\vec {K}}}$   bzw.   ${\displaystyle \Delta {\vec {k}}={\vec {K}}}$

Zur Veranschaulichung der Laue-Bedingung siehe Ewaldkugel.

Reziproke Gittervektoren lassen sich als Linearkombination der primitiven Gittervektoren des reziproken Gitters ${\displaystyle {\vec {b}}_{i}}$ ausdrücken, dabei sind ${\displaystyle h_{i}\in \mathbb {Z} }$ die Laue-Indizes (s. u.):

${\displaystyle {\vec {K}}=h_{1}{\vec {b}}_{1}+h_{2}{\vec {b}}_{2}+h_{3}{\vec {b}}_{3}}$

Ebenso lassen sich die Gittervektoren als Linearkombination der primitiven Gittervektoren ${\displaystyle {\vec {a}}_{i}}$ darstellen mit ${\displaystyle n_{i}\in \mathbb {Z} }$:

${\displaystyle {\vec {R}}=n_{1}{\vec {a}}_{1}+n_{2}{\vec {a}}_{2}+n_{3}{\vec {a}}_{3}}$

Das Skalarprodukt aus primitiven Gittervektoren des Ortsraums ${\displaystyle {\vec {a}}_{j}}$ und des reziproken Raums ${\displaystyle {\vec {b}}_{i}}$ ist:

${\displaystyle {\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}_{j}=2\pi \delta _{ij}\ ,}$

wobei ${\displaystyle \delta _{ij}}$ das Kronecker-Symbol ist.

Bildet man das Skalarprodukt der obigen Laue-Bedingung ${\displaystyle \Delta {\vec {k}}={\vec {K}}}$ mit den primitiven Ortsvektoren, erhält man die drei Laue-Gleichungen:

${\displaystyle {\vec {a}}_{1}\cdot \Delta {\vec {k}}=2\pi h_{1}}$

${\displaystyle {\vec {a}}_{2}\cdot \Delta {\vec {k}}=2\pi h_{2}}$

${\displaystyle {\vec {a}}_{3}\cdot \Delta {\vec {k}}=2\pi h_{3}}$

Die drei ganzen Zahlen ${\displaystyle h_{1}h_{2}h_{3}}$ (normalerweise ${\displaystyle h,k,l}$, hier aber Verwechslungsgefahr mit Wellenzahl ${\displaystyle k}$, deswegen ${\displaystyle h_{1},h_{2},h_{3}}$) heißen dabei die Laue-Indizes. Die drei Gleichungen definieren jeweils einen Kegel (für h=0 zu einer Ebene entartet). Damit alle Bedingungen erfüllt sind, müssen sich drei Kegelflächen in dieser Raumrichtung zusammentreffen. Dadurch werden die punktförmigen Interferenzmuster der Röntgenbeugung an Kristallgittern erklärt und indiziert.[2][3][4][5] Zeitgleich mit Laue stellten W.H. Bragg und W.L. Bragg die Bragg-Bedingung ${\displaystyle n\lambda =2d\sin \theta }$ für die Reflexion an parallelen Flächen im Abstand d auf. Auch wenn die Herangehensweisen von Laue (Beugung in alle Raumrichtungen) und Bragg (Reflexion) verschieden sind, sind die beiden Effekte äquivalent: Hat die Schar von Netzebenen, die in der Bragg-Bedingung gerade den Abstand d haben, im Kristall die Millerschen Indizes (hkl), so hat der Interferenzpunkt die Laue-Indizes nh nk nl, die Laue-Indizes sind also gerade das n-fache der Miller-Indizes. Aufgrund des Zusammenhangs mit der Bragg-Reflexion werden die Laue-Indizes gelegentlich auch als Bragg-Indizes bezeichnet.[6]

Man kann die Laue-Bedingung noch in alternativer Form schreiben. Man quadriere die Laue-Bedingung ${\displaystyle {\vec {k}}'={\vec {k}}-{\vec {K}}}$ und benutze ${\displaystyle k=k'}$ (elastische Beugung):

${\displaystyle k^{2}=k^{2}-2{\vec {k}}\cdot {\vec {K}}+K^{2}}$   also   ${\displaystyle {\vec {k}}\cdot {\vec {K}}={\frac {1}{2}}K^{2}}$

Teile durch ${\displaystyle K}$:

${\displaystyle {\vec {k}}\cdot {\frac {\vec {K}}{K}}={\frac {1}{2}}K}$

Für ein gegebenes ${\displaystyle {\vec {K}}}$ ist dies eine Ebenengleichung in der Hesse-Normalenform. Die Projektion von ${\displaystyle {\vec {k}}}$ auf die Richtung von ${\displaystyle {\vec {K}}/K}$ ist konstant ${\displaystyle K/2}$. Ein Wellenvektor der einfallenden Strahlung ${\displaystyle {\vec {k}}}$ erfüllt die Laue-Bedingung, wenn seine Spitze in einer Bragg-Ebene liegt. Eine Bragg-Ebene ist die mittelsenkrechte Ebene auf der Verbindungslinie zwischen dem Ursprung im reziproken Raum und einem Punkt ${\displaystyle {\vec {K}}}$. Diese Ebenengleichung entspricht für benachbarte Punkte im reziproken Raum der Konstruktionsvorschrift der Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters (erste Brillouin-Zone).

Daraus folgt die Alternative Formulierung der Laue-Bedingung: Man erhält genau dann konstruktive Interferenz, wenn die Spitze des einfallenden Wellenvektors auf dem Rand einer Brillouin-Zone liegt.

Laue- und Bragg-Bedingung

Geht man von ${\displaystyle {\vec {k}}\cdot {\vec {K}}=K^{2}/2}$ und ${\displaystyle {\vec {K}}={\vec {k}}-{\vec {k}}'}$ aus, so ergibt sich:

${\displaystyle {\vec {k}}\cdot ({\vec {k}}-{\vec {k}}')={\frac {1}{2}}K^{2}}$

Der Winkel zwischen ${\displaystyle {\vec {k}}}$ und ${\displaystyle {\vec {k}}'}$ sei ${\displaystyle 2\Theta \,}$:

${\displaystyle k^{2}\underbrace {\left(1-\cos(2\Theta )\right)} _{2\sin ^{2}(\Theta )}={\frac {1}{2}}K^{2}}$

mit ${\displaystyle {\vec {k}}^{2}={\vec {k}}'^{2}}$ und Kosinussatz

Radizieren liefert:

${\displaystyle 2k\sin(\Theta )=K\,}$

Das Skalarprodukt zwischen einem reziproken Gittervektor und einem Gittervektor ergibt:

${\displaystyle 2\pi n={\vec {K}}\cdot {\vec {R}}=K\underbrace {R\cos(\alpha )} _{d},\quad n\in \mathbb {Z} }$   somit   ${\displaystyle K={\frac {2\pi n}{d}}}$

Für ein gegebenes ${\displaystyle {\vec {K}}}$ ist dies eine Ebenengleichung für eine Gitterebene, wobei ${\displaystyle {\vec {K}}}$ senkrecht auf dieser Ebene steht. Schreibt sich ${\displaystyle {\vec {K}}}$ als folgende Linearkombination ${\displaystyle {\vec {K}}=h_{1}{\vec {b}}_{1}+h_{2}{\vec {b}}_{2}+h_{3}{\vec {b}}_{3}}$, so steht der Vektor senkrecht auf der Gitterebene ${\displaystyle (h_{1},h_{2},h_{3})}$. Der Gitterebenenabstand ${\displaystyle d}$ ist

${\displaystyle d={\frac {2\pi }{K}}={\frac {2\pi }{|h_{1}{\vec {b}}_{1}+h_{2}{\vec {b}}_{2}+h_{3}{\vec {b}}_{3}|}}}$.

Mit ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ und ${\displaystyle K=2\pi n/d}$ erhält man aus ${\displaystyle 2k\sin(\Theta )=K}$ die Bragg-Bedingung (n entspricht der Ordnung des Beugungsreflexes):

${\displaystyle 2d\sin(\Theta )=n\lambda \,}$

Beugungsreflex

• nach Laue: Änderung des Wellenvektors um reziproken Gittervektor ${\displaystyle {\vec {K}}}$
• nach Bragg: Reflexion an Netzebenenschar des Kristallgitters, die senkrecht zu ${\displaystyle {\vec {K}}}$ steht und deren Abstand ${\displaystyle d={\frac {2\pi }{K}}}$ beträgt.

• Martin J. Buerger: Kristallographie. 1. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 1977, ISBN 3-11-004286-X.
• Neil W. Ashcroft, N. David Mermin: Festkörperphysik. 2. Auflage. Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-57720-4.

1. Neil W. Ashcroft, David N. Mermin: Festkörperphysik. 2007, ISBN 978-3-486-58273-4 (Seite 124 in der Google-Buchsuche).
2. André Authier: Early Days of X-ray Crystallography. Oxford University Press, 2013, ISBN 978-0-19-965984-5 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
3. Gerd Koppelmann, Gert Sinn: Zur Interferenz an Raumgittern. (PDF) Deutung und Lichtoptische Modellversuche. In: Wege in der Physikdidaktik. Werner B. Schneider, 1991, abgerufen am 2. Januar 2015 (als Buch von Verlag Palm & Enke unter ISBN 3-7896-0100-4 derzeit vergriffen).
4. S. König, R. Erlebach: Kristallographie und Röntgenuntersuchung an Kristallen. (PDF) Abgerufen am 2. Januar 2015 (undatierter Vortrag Uni Jena, insbesondere Seite 7).
5. Paul Katolla, Tobias Krähling: Kristalluntersuchungen mit Hilfe von Debye-Scherrer-Aufnahmen. (PDF) 7. August 2009, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 3. Januar 2015; abgerufen am 2. Januar 2015 (Praktikumsprotokoll an der Ruhr-Uni Bochum, siehe insbesondere Seite 6).
6. J.L. Atwood, J.W. Steed: Encyclopedia of Supramolecular Chemistry, CRC Press, 2004, ISBN 978-0-8247-4724-4.