Larmorpräzession

Quantenmechanisch bewirkt das magnetische Moment im Magnetfeld eine Aufspaltung des Energieniveaus mit der Drehimpulsquantenzahl ${\displaystyle J}$ in äquidistante Niveaus zu den ${\displaystyle (2J{\mathord {+}}1)}$ verschiedenen möglichen magnetischen Quantenzahlen ${\displaystyle m_{J}}$. Der Niveauabstand ist immer ${\displaystyle \Delta E=\hbar \omega _{\mathrm {Larmor} }}$ (darin ist ${\displaystyle \hbar }$ das reduzierte Wirkungsquantum). Diese Aufspaltung wurde 1896 an optischen Spektrallinien erstmals beobachtet und war einer der ersten Zugänge zum Studium der Vorgänge in den Atomen und damit zur Entwicklung der Quantenmechanik.

In Formeln: Aus dem o.a. Drehmoment ${\displaystyle {\vec {M}}}$ ergibt sich, dass das Teilchen im Magnetfeld eine Zusatzenergie

${\displaystyle E_{\mathrm {mag} }=-\mu \cdot B\cdot \cos \theta \equiv -\mu _{z}\cdot B\equiv -\gamma J_{z}B}$

hat, wobei ${\displaystyle \mu _{z}}$ die zu ${\displaystyle {\vec {B}}}$ parallele Komponente des Vektors ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$ ist und die Feldrichtung als z-Achse gewählt wurde. Da zu ${\displaystyle J_{z}}$ die Quantenzahlen ${\displaystyle m_{J}=-J,-(J-1),\dots ,J}$ gehören (s. Richtungsquantelung), spaltet das Niveau in ebenso viele Zeeman-Niveaus auf. Ihre Energien sind

${\displaystyle E_{m_{J}}=-\gamma \hbar m_{J}B\ .}$

An einem einzelnen Zeeman-Zustand kann man nach der Quantenmechanik keine Bewegung ablesen, weder die Rotation um die Kreiselachse noch die Präzession der Kreiselachse um die ${\displaystyle z}$-Achse. Als Eigenzustand zu einer Energie ${\displaystyle E_{m}}$ ist der Zustand stationär, d. h. mit fortschreitender Zeit ändert sich nicht seine Form, sondern nur die quantenmechanische Phase seines Zustandsvektors mittels des Phasenfaktors ${\displaystyle e^{-iE_{m}t/\hbar }}$. Zustände verschiedener Energie ändern ihre Phase verschieden schnell. Bei den je nach der magnetischen Quantenzahl ${\displaystyle m}$ aufgespaltenen Zeeman-Zuständen mit Energie ${\displaystyle E_{m}=-m\hbar \omega _{L}}$ ist der Phasenfaktor demnach ${\displaystyle e^{i\,m\,\omega _{L}\,t}}$. Da ${\displaystyle m\hbar }$ gerade der Eigenwert zur ${\displaystyle z}$-Komponente des Drehimpulses des betreffenden Zeeman-Zustands ist, bedeutet dieser Phasenfaktor das gleiche wie eine Drehung um den Winkel ${\displaystyle \varphi =\omega _{L}t}$ um die z-Achse. Für einen Zeeman-Zustand allein drückt sich diese Phase bzw. Drehung in keiner beobachtbaren Tatsache aus, nur eben im nach der Quantenmechanik prinzipiell beliebigen Phasenfaktor des zugehörigen Zustandsvektors.

Eine Dreh-Bewegung um die ${\displaystyle z}$-Achse kann man nur an einem Zustand beobachten, der zu jedem Moment eine gewisse Richtung quer zur ${\displaystyle z}$-Achse in messbarer Weise auszeichnet. Dazu muss er eine Überlagerung mehrerer Zeeman-Zustände sein. Welche Achse senkrecht zur ${\displaystyle z}$-Achse ausgezeichnet wird, hängt dann von der relativen Phase seiner Zeeman-Komponenten ab. Z. B. kann ein Teilchen mit Spin ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ die Zeeman-Zustände ${\displaystyle |m\mathbin {=} {\mathord {+}}{\tfrac {1}{2}}\rangle }$ und ${\displaystyle |m\mathbin {=} {\mathord {-}}{\tfrac {1}{2}}\rangle }$ haben, und der zur ${\displaystyle +x}$-Achse ausgerichtete Zustand ist durch die Überlagerung ${\displaystyle \left(|{\mathord {+}}{\tfrac {1}{2}}\rangle +|{\mathord {-}}{\tfrac {1}{2}}\rangle \right)}$ gegeben (bis auf einen gemeinsamen Faktor, siehe auch Eigenschaften des Spin). Wenn sich die Phasen beider Komponenten aber aus irgendeinem Grund um 90° auseinanderentwickelt haben, heißt der Zustand (bis auf einen gemeinsamen Faktor) ${\displaystyle \left(|{\mathord {+}}{\tfrac {1}{2}}\rangle +i|{\mathord {-}}{\tfrac {1}{2}}\rangle \right)}$ und hat den Spin nach der ${\displaystyle +y}$-Achse hin ausgerichtet. Nach weiteren 90° Phasendifferenz heißt der Zustand ${\displaystyle \left(|{\mathord {+}}{\tfrac {1}{2}}\rangle -|{\mathord {-}}{\tfrac {1}{2}}\rangle \right)}$ und ist nach ${\displaystyle -x}$ ausgerichtet usw.

Da sich mit fortschreitender Zeit die einzelnen Zustandsvektoren gerade so verändern, als ob sie alle um den gleichen Winkel ${\displaystyle \varphi =\omega _{L}t}$ um die ${\displaystyle z}$-Achse gedreht worden wären, beschreibt dieselbe Überlagerung nun einen Zustand, der wirklich diese Drehung ausgeführt hat. Zeigte er am Anfang eine Polarisation, die nicht parallel zur ${\displaystyle z}$-Achse lag, dann zeigt er später dieselbe Form und Stärke der Polarisation, aber in einer entsprechend gedrehten Richtung.

Mit anderen Worten: Das beschriebene System rotiert ganz mit der Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \omega _{L}}$, in völliger Übereinstimmung mit der Anschauung. Hier wird deutlich, dass die Energieaufspaltung der Drehimpulseigenzustände wie im Zeeman-Effekt eine so einfache räumliche Veranschaulichung erlaubt, weil sie äquidistant ist. Eine Aufspaltung proportional zum Quadrat der magnetischen Quantenzahl, wie z. B. durch die Wechselwirkung des elektrischen Quadrupolmoments mit einem inhomogenen elektrischen Feld, lässt sich so nicht interpretieren.