Larmor-Diamagnetismus

Die Larmor-Suszeptibilität (auch diamagnetische Langevin-Suszeptibilität genannt) berechnet sich wie folgt:

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{\mathrm {Larmor} }&=-{\frac {\mu _{0}Ne^{2}}{6mV}}\sum _{i=1}^{Z}{\langle r_{i}^{2}\rangle }\\&\approx -{\frac {\mu _{0}Ne^{2}}{6mV}}Z_{\mathrm {a} }r_{\mathrm {a} }^{2}\end{aligned}}}$

Hierbei bezeichnet

• ${\textstyle \mu _{0}}$ die magnetische Permeabilität des Vakuums
• ${\displaystyle N}$ die Anzahl der Atome
• ${\displaystyle e}$ die Elementarladung
• ${\displaystyle m}$ die Masse
• ${\displaystyle V}$ das Volumen
• ${\textstyle Z_{\mathrm {a} }}$ die Anzahl der Elektronen in der äußersten Schale des Atoms bzw. Ions
• ${\textstyle r_{\mathrm {a} }}$ den Atom- bzw. Ionenradius.

Insgesamt ist die Suszeptibilität weitgehend temperaturunabhängig.[1] Die Verwendung der Elektronenzahl der äußersten Schale ist dadurch gerechtfertigt, dass diese Elektronen aufgrund des größten Radius dominieren.

Der Kreisstrom ${\displaystyle I}$, den ${\textstyle Z}$ Elektronen aufgrund der Larmor-Präzession mit Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega _{\mathrm {Lamor} }}$ erzeugen, ist proportional zur magnetischen Flussdichte ${\displaystyle B_{\mathrm {ext} }}$ des äußeren Magnetfelds:[1]

${\displaystyle I=-Ze{\frac {\omega _{\mathrm {Lamor} }}{2\pi }}=-{\frac {Ze^{2}}{4\pi m}}B_{\mathrm {ext} }}$

Somit erhält man für das magnetische Moment:

${\displaystyle \mu =IA=-{\frac {Ze^{2}}{4\pi m}}B_{\mathrm {ext} }\pi \left(\langle x^{2}\rangle +\langle y^{2}\rangle \right)=-{\frac {Ze^{2}}{6m}}B_{\mathrm {ext} }\langle r_{\mathrm {a} }^{2}\rangle }$

Wobei im letzten Schritt die Kugelsymmetrie ${\textstyle \langle x^{2}\rangle +\langle y^{2}\rangle ={\frac {2}{3}}\langle r_{\mathrm {a} }^{2}\rangle }$ der Ladungsverteilung ausgenutzt wurde.

Daraus ergibt sich die Energieverschiebung der Zustände:

${\displaystyle \Delta E=-\mu B_{\mathrm {ext} }={\frac {Ze^{2}}{6m}}B_{\mathrm {ext} }^{2}\langle r_{\mathrm {a} }^{2}\rangle }$

Diese Energieverschiebung resultiert in der Magnetisierung, aus der man letztendlich die Suszeptibilität errechnen kann:

${\displaystyle \chi _{\mathrm {Lamor} }=-\mu _{0}{\frac {N}{V}}{\frac {\partial ^{2}\Delta E}{\partial B_{\mathrm {ext} }^{2}}}=-{\frac {\mu _{0}Ne^{2}}{6mV}}Z_{\mathrm {a} }r_{\mathrm {a} }^{2}}$

1. Rudolf Gross, Achim Marx: Festkörperphysik. De Gruyter, Oldenbourg 2012, S. 670.