Laplace-Gleichung

Beim Dirichlet-Problem wird die stetige Abbildung ${\displaystyle \varphi (y)}$ auf dem Rand ${\displaystyle \partial \Omega }$ vorgegeben. Es werden mit anderen Worten die Werte vorgegeben, welche die Lösung der Laplace-Gleichung auf dem Rand annehmen soll.

Formuliert werden kann das Dirichlet-Problem dabei auf folgende Weise:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcll}\Delta \Phi &=&0&{\text{in}}\ \Omega \\\Phi &=&\varphi &{\text{auf}}\ \partial \Omega \\\end{array}}\right.}$

Die Lösung des Dirichlet-Problems ist eindeutig.

Beim Neumann-Problem wird die Normalenableitung auf dem Rand ${\displaystyle \partial \Omega }$ vorgegeben, welche die Lösung der Laplace-Gleichung annehmen soll.

Formuliert werden kann das Neumann-Problem dabei auf folgende Weise:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcll}\Delta \Phi &=&0&{\text{in}}\ \Omega \\{\frac {\partial \Phi }{\partial n}}&=&h&{\text{auf}}\ \partial \Omega \\\end{array}}\right.}$

wobei ${\displaystyle {\tfrac {\partial \Phi }{\partial n}}}$ die Richtungsableitung von ${\displaystyle \Phi }$ in Richtung der Flächennormale von ∂Ω bezeichnet.

Die Lösung des Neumann-Problems ist bis auf eine additive Konstante eindeutig.

Das gemischte Randwertproblem stellt eine Kombination des Dirichlet- und des Neumann-Problems dar,

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcll}\Delta \Phi &=&0&{\text{in}}\ \Omega \\{\frac {\partial \Phi }{\partial n}}+c_{0}\Phi &=&h&{\text{auf}}\ \partial \Omega \\\end{array}}\right.}$

mit einer Konstanten ${\displaystyle c_{0}}$, wobei zur Lösung dieses Problems weitere Bedingungen, wie beispielsweise Anfangswerte nötig sind.

Das gemischte Problem ist ohne bekannte Zusatzbedingungen, wie z. B. Anfangswerten, nicht eindeutig lösbar. Die Eindeutigkeit dieses Problems erfordert die eindeutige Lösbarkeit der Differentialgleichung der Werte auf dem Rand:

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial n}}+c_{0}\Phi =h\ {\text{auf}}\ \partial \Omega }$.

Ist diese Differentialgleichung jedoch auf Grund von weiteren Informationen eindeutig lösbar, so kann das gemischte Problem in ein Dirichlet-Problem überführt werden, welches eine eindeutige Lösung besitzt.

Um die Fundamentallösung ${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ der Laplace-Gleichung zu finden, bietet es sich an die Rotationsinvarianz des Laplace-Operators auszunutzen. Man setzt hierfür ${\displaystyle \gamma (x)=g(|x|)}$ an, wobei ${\displaystyle |x|}$ die euklidische Norm von ${\displaystyle x}$ bezeichnet. Mithilfe der Kettenregel verwandelt sich die Laplace-Gleichung für ${\displaystyle \gamma }$ in eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung von ${\displaystyle g}$. Man erhält für die nur von ${\displaystyle |x|}$ abhängige Funktion ${\displaystyle \gamma }$ dann folgende dimensionsabhängige Formel:

${\displaystyle \gamma (x):=\left\{{\begin{array}{rl}-{\frac {1}{2\pi }}\ln {|x|}\ ,&n=2\\{\frac {1}{(n-2)\,\omega _{n}}}{\frac {1}{|x|^{n-2}}}\ ,&n>2\\\end{array}}\right.}$

mit dem Flächeninhalt ${\displaystyle \omega _{n}}$ der Oberfläche der ${\displaystyle n}$-dimensionalen Einheitskugel

${\displaystyle \omega _{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$.

Hierbei ist ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ die Gammafunktion, die analytische Erweiterung der Fakultät auf nicht-natürliche Zahlen, wie sie für jedes nicht-gerade ${\displaystyle n}$ auftreten.

Zu beachten ist hierbei, dass die Fundamentallösung ${\displaystyle \gamma }$ keine eigentliche Lösung der Laplace-Gleichung ist, wenn der Ursprung in ${\displaystyle \Omega }$ liegt, da sie in diesem Punkt eine Singularität aufweist.

Im Folgenden wird die Lösung des Dirichlet-Problems diskutiert. Dabei ist zu beachten, dass das Neumann-Problem und das gemischte Problem durch Lösung der Differentialgleichung der Randwerte in ein Dirichlet-Problem überführt werden können.

Kernproblem ist die Konstruktion der Greenschen Funktion, welche nicht in jedem Fall existieren muss. Die Auffindung dieser ist im Allgemeinen schwierig, zumal die Greensche Funktion vom Gebiet ${\displaystyle \Omega }$, auf welchem die Laplace-Gleichung erfüllt ist, abhängt. Ist die Greensche Funktion jedoch bekannt, so kann mit ihrer Hilfe die Lösung des Dirichlet-Problems eindeutig erfolgen.

Grundlage der Bestimmung der Greenschen Funktion ist die Fundamentallösung ${\displaystyle \gamma }$ der Laplace-Gleichung.

Zusätzlich muss eine Hilfsfunktion ${\displaystyle h(x,y)}$ konstruiert werden, welche in ${\displaystyle \Omega }$ zweifach stetig differenzierbar ist und stetig auf ${\displaystyle \partial \Omega }$ mit ${\displaystyle x\in \Omega }$ folgende Bedingungen erfüllt:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcll}\Delta _{y}h(x,y)&=&0\ ,&x\in {\overline {\Omega }},\,y\in \Omega \\h(x,y)&=&-\gamma (x,y)\ ,&x\in \Omega ,\,y\in \partial \Omega \\\end{array}}\right.}$

Das Auffinden dieser Hilfsfunktion ist der zentrale Schritt bei der Ermittlung der Greenschen Funktion.

Die Greensche Funktion ${\displaystyle G(x,y)}$ ergibt sich gemäß:

${\displaystyle G(x,y)=h(x,y)+\gamma (x-y)}$,

woraus sich die Lösung des Dirichlet-Problems ${\displaystyle \Phi (x)}$ in ${\displaystyle \Omega }$ berechnen lässt:

${\displaystyle \Phi (x)=-\int _{\partial \Omega }\!\Phi (y){\frac {\partial G(x,y)}{\partial n(y)}}\,\mathrm {d} S}$

Grundlage bei dieser Lösung ist die Fouriermethode. Das Dirichlet-Problem wird dabei in Polarkoordinaten betrachtet

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcll}\Delta \Phi (r,\phi )&=&0&{\text{in}}\ \Omega \\\Phi &=&\Phi (r_{0},\phi _{0})&{\text{auf}}\ \partial \Omega \\\end{array}}\right.}$

und die gesuchte Funktion ${\displaystyle \Phi (r,\phi )}$ mittels der Trennung der Variablen in zwei unabhängige Funktionen gespalten. Der gewählte Ansatz lautet somit:

${\displaystyle \Phi (r,\phi )=v(r)\,w(\phi ).}$

Die Einsetzung dieses Ansatzes in die Laplace-Gleichung und Nutzung eines Separationsansatzes führt das Problem auf zwei gewöhnliche Differentialgleichungen zurück.

Die Lösungen dieser gewöhnlichen Differentialgleichungen lauten:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}w(\phi )&=&c_{1,n}\cos(n\phi )+c_{2,n}\sin(n\phi )\ ,\\v(r)&=&d_{1}\,r^{n}+d_{2}\,r^{-n}\ .\\\end{array}}\right.}$

Dabei sind ${\displaystyle c_{1,n}\,}$, ${\displaystyle c_{2,n}\,}$, ${\displaystyle d_{1}\,}$, ${\displaystyle d_{2}\,}$ Konstanten und ${\displaystyle n={\sqrt {\lambda }}}$, wobei ${\displaystyle \lambda }$ – die Konstante aus dem Separationsansatz – positiv und reell ist, wodurch (bei der Erlangung der Lösungen) die ${\displaystyle 2\pi }$-Periodizität des Winkels erfüllt wird. Diese Periodizität kann auch als die Stetigkeit der Werte von ${\displaystyle \Phi (r,\phi )}$ auf dem Rand ${\displaystyle \partial \Omega }$ interpretiert werden.

Wäre ${\displaystyle d_{2}\neq 0}$, so würde in ${\displaystyle r=0}$ eine Singularität vorliegen, was wiederum der Stetigkeitsvoraussetzung in ${\displaystyle \Omega }$ widerspricht. Somit ist ${\displaystyle d_{2}=0}$.

Werden diese Lösungen in den oben gewählten Separationsansatz eingesetzt und nach dem Superpositionsprinzip über alle möglichen Lösungen aufsummiert, so ergibt sich die Lösung der Laplace-Gleichung,:

${\displaystyle \Phi (r,\phi )=\sum _{n=0}^{\infty }\Phi _{n}(r,\phi )={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }r^{n}(a_{n}\cos(n\phi )+b_{n}\sin(n\phi )).}$

wobei ${\displaystyle a_{0}\,}$, ${\displaystyle a_{n}\,}$ und ${\displaystyle b_{n}\,}$ die Fourierkoeffizienten der Werte von ${\displaystyle \Phi (r_{0},\phi _{0})}$ sind.

In Kugelkoordinaten hat die Laplace-Gleichung die Form

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial \Phi }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\partial \Phi \over \partial \theta }\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}=0}$.

Die Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten ist mit dem Separations-Ansatz lösbar. Der radiale Teil setzt sich aus Potenzen der Radial-Koordinate ${\displaystyle r}$ zusammen und der Winkel-Teil lässt sich mit Hilfe von Kugelflächenfunktionen ${\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$ angeben, welche wiederum als Produkt der komplexen Exponentialfunktion und den assoziierten Legendre-Polynomen darstellbar sind.

${\displaystyle \Phi (r,\theta ,\phi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(A_{\ell m}r^{\ell }+B_{\ell m}r^{-\ell -1})Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )}$

Bei azimutaler Symmetrie (${\displaystyle m=0}$) vereinfacht sich die Lösung mit den Legendre-Polynomen ${\displaystyle P_{\ell }(\cdot )}$

${\displaystyle \Phi (r,\theta ,\phi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-\ell -1})P_{\ell }(\cos \theta )}$.