Laplace-Ebene

Bewegt sich ein Körper um ein Zentralobjekt, so kann ihm zu jedem Zeitpunkt eine momentane Bahnebene zugeordnet werden. Dies ist die Ebene, in der sowohl der Abstandsvektor vom Zentralobjekt zum Körper als auch der Geschwindigkeitsvektor des sich bewegenden Körpers liegt. Der Bahndrehimpulsvektor des Körpers steht gerade senkrecht auf dieser Ebene. Unterliegt die Bewegung des Körpers keinem Drehmoment, so ändert sich der Bahndrehimpuls des Körpers nicht und die Bahnebene des Körpers ist entsprechend zeitlich konstant. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn das Zentralobjekt exakt kugelsymmetrisch ist und keine äußeren Kräfte auf das System wirken.

In der Realität sind allerdings die Zentralobjekte weder exakt kugelsymmetrisch (die Planeten sind mehr oder weniger stark abgeplattet) noch ist die Bewegung frei von äußeren Kräften (durch die Sonne, andere Planeten etc.). Daher wirken auf die umlaufenden Körper Drehmomente, die zu einer Veränderung der Bahnebene führen, die in den meisten Fällen zwar gering im Laufe weniger Umläufe um das Zentralobjekt ist, aber im Laufe der Zeit zu einer Präzessionsbewegung des Bahndrehimpulses führen. Im Falle der Planeten-, Mond- und Satellitenbahnen kann man diesen Effekt über längere Zeiträume durch die Wirkung eines konstanten Drehmoments auf einen sich schnell bewegenden Kreisel modellieren. Die Bahnebene schwankt dann mit einer gewissen zeitlichen Periode um eine über lange Zeiten gemittelte Bahnebene (Laplace-Ebene). Der Neigungswinkel der momentanen Bahnebene gegen die Laplace-Ebene bleibt dabei näherungsweise konstant, nur die Lage der Ebenen zueinander ändert sich.

Bei der Analyse der Bahnen der großen Monde des Planeten Jupiter stellte der französische Mathematiker Laplace fest, dass sie über kurze Zeiträume (wenige Jahre), wie die Bahnen der Planeten, in einer Ebene verläuft. Über mittlere Zeiträume – oft einige Jahre bis Jahrzehnte – ist diese Bahnebene allerdings veränderlich: ein Effekt, der beim Erdmond seit der Antike bekannt ist, da sie eng mit dem jahreszeitlichen Auftreten der Sonnen- und Mondfinsternisse zusammenhängt. Laplace sah, dass die Bahnebene der Monde über lange Zeiträume eine kreiselartige Trudelbewegung vollzieht. Für den Erdmond ist diese Drehung der so genannten Mondknoten damals seit langer Zeit bekannt gewesen, wobei die Periode dieser Drehung 18,6 Jahre beträgt (Nutation). Betrachtet man anstelle der Bahnebene den Pol der Bahnebene, also den Punkt auf der Himmelssphäre, an dem eine gedachte Linie, die senkrecht auf der Bahnebene steht (die Normale), durch diese Sphäre sticht, so vollführt dieser Pol eine Kreisbewegung auf der Himmelssphäre. Beim Erdmond hat dieser Kreis einen Durchmesser von etwa 10° (die doppelte Bahnneigung des Mondes) und sein Mittelpunkt ist der Pol der Ekliptik (also der Erdbahnebene). Bei den Jupitermonden ist der Mittelpunkt dieser Kreise allerdings der „Himmelspol des Jupiter“, also der Punkt, an dem die Jupiterachse durch die Himmelssphäre sticht. Laplace stellte dazu die entsprechende Theorie dar, die diese Knotenbewegung auf die Abplattung des Jupiter und das dadurch ausgeübte Drehmoment zurückführt (und nicht das durch die Sonne ausgeübte Drehmoment, das beim Erdmond maßgeblich ist).[3]

Lage der Laplace-Ebenen wichtiger Saturnmonde in Bezug auf die Rotations- und Bahnebene des Saturn. Die Pole der verschiedenen Ebenen sind im Diagramm auf die Ekliptik projiziert, so dass der Pol der Ekliptik im Ursprung liegt. Der Frühlingspunkt liegt dabei in Richtung der x-Achse. Ebenfalls dargestellt sind die Pole der Bahnebenen der äußeren Planeten.

Im Gegensatz zu den anderen damals bekannten Satelliten der Gasplaneten war mit der Entdeckung von Iapetus im Jahr 1671 schon frühzeitig ein Saturnmond bekannt, der seinen Zentralplaneten in recht großem Abstand (etwa 3,5 Mio. km) umkreist. Bei der Analyse der Bahn dieses Mondes stellte der französische Mathematiker Laplace fest, dass sie über kurze Zeiträume (wenige Jahre), wie die Bahn aller anderen Monde und Planeten, in einer Ebene verläuft. Über mittlere Zeiträume – in diesem Fall mehrere Jahrzehnte – ist die entsprechende Bahnebene wiederum veränderlich, wie dies vom Erdmond und den Jupitermonden ja bereits beobachtet worden war. Obwohl Iapetus 1805 erst 134 Jahre lang beobachtet worden war und die Beobachtungsdaten der Saturnmonde noch nicht an die Exaktheit der Daten für die Jupitermonde heranreichte, sah Laplace, dass die Bahnebene des Mondes über Zeiträume von einigen Jahrtausenden eine kreiselartige Trudelbewegung vollzieht. Bei Iapetus hat der entsprechende Kreis, den der Pol der Ebene beschreibt, einen Durchmesser von etwa 15°. Allerdings liegt in seinem Zentrum nicht der Pol der Saturnbahnebene und auch nicht der Pol der Äquatorebene des Saturn (also der Durchstichpunkt der Drehachse des Planeten durch die Himmelssphäre).[1] Stattdessen liegt der Mittelpunkt, wie man im nebenstehenden Diagramm sehen kann, etwa zwischen dem Pol der Saturnbahnebene und dem Pol der Äquatorebene des Saturn. Alle anderen damals bekannten Monde (dies waren die vier Galileischen Monde, sechs weitere Saturnmonde, sowie zwei Uranusmonde) haben Bahnen, die sich kaum mehr als ein Grad gegen die Äquatorebene des Zentralplaneten neigen. Bei Messungen hoher Präzision stellt man fest, dass die Bahnpole dieser Monde ebenfalls kreisförmige Bewegungen vollführen, und zwar um den Pol der Äquatorebene des Planeten.

Der Mittelpunkt des Kreises, auf dem sich der Bahnpol eines Mondes bewegt, ist der Pol der über lange Zeiträume gemittelten Bahnebene, die selbst zeitlich unveränderlich ist: die Laplace-Ebene. Bei den planetennahen Monden der massereichen und sonnenfernen Gasplaneten fällt diese mit der Äquatorebene zusammen. Beim Erdmond fällt diese, ebenso wie beim 1888 entdeckten äußeren Saturnmond Phoebe (Planetenabstand etwa 13 Mio. km), sehr genau mit dem Pol der Bahnebene des jeweiligen Planeten zusammen. Der Fall des Mondes Iapetus zeigt, dass es allerdings eine Zone mittleren Abstandes vom Planeten gibt, in der die Laplace-Ebene eine Zwischenform annimmt. Heute, im 21. Jahrhundert, sind hunderte Planetenmonde bekannt und künstliche Satelliten in Planetenorbits gestartet worden, deren exakte Bahndynamik den Spezialfall des Iapetus verallgemeinern. Diese Tatsache verlangt unmittelbar nach einer Klärung der Frage, wie die genaue Dynamik der Bahnebenen im allgemeinen Fall aussieht.

Der Idealfall eines kleinen Körpers, der sich um ein kugelförmiges Zentralobjekt bewegt, wird durch das Kepler’sche Zweikörperproblem oder das Einzentrenproblem beschrieben. Da das Gravitationsfeld des kugelförmigen Zentralobjekts radialsymmetrisch ist, wirkt kein Drehmoment auf den umlaufenden Körper und der Bahndrehimpuls des Körpers ist in diesem Fall zeitlich konstant. Dies bedingt einerseits die Gültigkeit des zweiten Kepler’schen Gesetzes und andererseits, dass die Bewegung des kleinen Körpers in einer zeitlich unveränderlichen Ebene, der Bahnebene, erfolgt.

A – Himmelskörper
B – Zentralobjekt
Grün – Referenzebene (Laplaceebene)
Blau – Orbitalebene (Bahnebene)
i – Inklination
Ω – Länge des aufsteigenden Knotens

Die Bahnen realer Körper im Orbit um ein Zentralobjekt, wie zum Beispiel Planeten im Umlauf um die Sonne, Monde im Umlauf um ihren Planeten, oder künstliche Satelliten, können nur annäherungsweise als Zweikörperproblem behandelt werden. Abweichungen von der Kugelgestalt des Zentralobjekts und die Anwesenheit anderer massiver Körper außerhalb des Systems führen zu einem gestörten Zweikörpersystem. Solch ein gestörtes System lässt sich über kurze Zeiträume zwar weiterhin durch die Bahnelemente einer Keplerellipse beschrieben, die Störungen führen aber zu einer zeitlichen Veränderung der Bahnelemente. Insbesondere führt ein Drehmoment, das auf den umlaufenden Körper wirkt, zur zeitlichen Veränderung der Bahnebene, die in der Himmelsmechanik im Allgemeinen durch die Bahnneigung (Inklination) i und den Positionswinkel (Argument) des aufsteigenden Knotens Ω in Bezug auf eine unveränderliche Referenzebene angegeben wird.

Die Natur der auftretenden Drehmomente T ist oft derart, dass diese recht klein im Verhältnis zum Bahndrehimpuls L sind, d. h., der Drehimpuls ändert sich sehr wenig während eines Umlaufs des Körpers um das Zentralobjekt, in Formeln: ${\displaystyle T/L\ll \omega }$, wobei ω die Kreisfrequenz des Körpers beim Umlauf ist. In diesem Fall kann man den Körper als schnellen Kreisel betrachten, dessen Rotationsachse in Richtung des Bahndrehimpulses zeigt. Durch das Drehmoment ändert die Rotationsachse ihre Richtung dergestalt, dass sie kurzperiodisch um eine mittlere Rotationsachse wandert, die ihrerseits langperiodisch um einen Präzessionspol wandert. Die Ebene senkrecht zur Richtung des Präzessionspols kann langzeitlich als mittlere Bahnebene betrachtet werden und wird als Laplace-Ebene bezeichnet.

Planeten, Monde und Satelliten bewegen sich oft auf Ellipsen relativ geringer Exzentrizität um ihren Zentralkörper, und die Drehmomente, die auf den Körper wirken, sind meist von den in den drei folgenden Absätzen beschriebenen Mechanismen bewirkt.

Äußere Störungen am Beispiel des Erdmondes

Illustration zur Wanderung des Bahnknotens einer durch einen äußeren Körper gestörten Umlaufbahn. Es bezeichnet: E: Zentralobjekt (z. B. Erde) M: Umlaufender Körper (z. B. Mond) O: Umlaufbahn von M (der oberhalb der Laplace-Ebene liegende Teil ist dicker) R: Richtung der vektoriellen Winkelgeschwindigkeit P: Präzessionskegel von R S: Störkörper (z. B. Sonne) B: Relative Bahn von S (z. B. Ekliptik) L: Laplace-Ebene (z. B. Ekliptik-Ebenen)

Wird ein Zweikörpersystem in eine Umgebung eingebracht, in der andere Objekte mit den beiden Körpern wechselwirken, so lässt sich unter gewissen Bedingungen die Bewegung der beiden Körper störungstheoretisch behandeln. Man geht bei diesem Ansatz davon aus, dass sich das Zweikörpersystem über kurze Zeiten weiterhin in der Form beschrieben lässt, die aus dem ungestörten Problem bekannt ist. Über mittlere und längere Zeiträume werden sich jedoch eigentlich konstante Bahnparameter dynamisch entwickeln. In diesem Abschnitt soll ein gewisser Spezialfall der Störung einer Keplerellipse beschrieben werden, wobei das Interesse wiederum bei den Bahnelementen Inklination i und Argument des aufsteigenden Knotens Ω liegt. Man geht zu diesem Zweck von den Annahmen aus, dass sich der umlaufende Körper wieder als schneller Kreisel beschreiben lässt und dass sich die störenden Körper schnell bewegen im Verhältnis zur Änderungsrate der Bahnelemente. Als Beispiel für ein solches Modell sei der Erdmond gewählt, der sich mit etwa der 13-fachen Winkelgeschwindigkeit um die Erde bewegt, mit der sich der Hauptstörkörper, nämlich die Sonne, relativ zum Erde-Mond-System bewegt. Die Änderung des relevanten Bahnelements Ω vollzieht sich mit nochmal etwa 18-fach kleinerer Winkelgeschwindigkeit.

Man erhält in solchen Fällen ein akzeptables Resultat, wenn man ein solches System als schnellen Kreisel betrachtet, auf den eine Kraft wirkt, die von einer Masseverteilung ausgeht, die aus einer zeitlichen Mittelung der Störmassen über ihre Bahnen relativ zum Zweikörpersystem hervorgeht. Handelt es sich dabei um einen einzelnen dominanten Störkörper, der sich relativ zum System mit konstantem Abstand und konstanter Geschwindigkeit bewegt, kann man also von einem eindimensionalen Massering mit entsprechender Masse M und Radius R ausgehen. Das Drehmoment, das dieser Massering auf den umlaufenden Körper bewirkt, erzeugt eine Änderung der Richtung des Drehimpulses und damit der Bahnebene.[A 4]

Der aufsteigende Knoten der Umlaufbahn wandert daher mit einer Winkelgeschwindigkeit von[4][8]

${\displaystyle {\dot {\Omega }}=-{\frac {3GM}{4r^{3}\omega }}\cos i,}$

wobei M die Masse des Störkörpers und r sein Abstand zum System ist. i bezeichnet nun die Bahnneigung (${\displaystyle \cos i=\langle {\vec {\omega }},{\vec {n}}\rangle /\omega }$) gegenüber der Bahnebene des Störkörpers, die hier die Laplace-Ebene ist und deren Normale ${\displaystyle {\vec {n}}}$ senkrecht auf ihr steht. Wie im vorigen Abschnitt gilt auch hier, dass Betrag der Winkelgeschwindigkeit und Bahnneigung zeitlich konstant sind.

Wenn der Störkörper, wie im Falle des Erde-Mond-Systems, der Zentralkörper eines größeren Gesamtsystems (z. B. Sonnensystem) ist, kann in der obigen Formel die Masse und der Abstand dieses Körpers durch das dritte Kepler’sche Gesetz eliminiert werden und man erhält

${\displaystyle {\dot {\Omega }}=-{\frac {3\omega _{0}^{2}}{4\omega }}\cos i,}$

wobei ω₀ hier die Winkelgeschwindigkeit des Störkörpers (Sonne) ist. Für den Fall des Erdmondes kann man nun direkt ablesen, dass (unter Vernachlässigung der Bahnneigung) die Mondknoten mit einer Winkelgeschwindigkeit wandern, die etwa 4/3 · ω/ω₀ ≈ 1,33 · 13,4 ≈ 17,8-mal langsamer ist als die relative Winkelgeschwindigkeit der Sonne – in anderen Worten: Die Knoten drehen sich alle 17,8 Jahre um volle 360°. Der beobachtete Wert von 18,6 Jahren ergibt sich erst durch genauere Berechnung der Mondbahn.[8] Die Bahnneigung des Mondes ist bei dieser Wanderung der Knoten, abgesehen von kurzperiodischen Schwankungen, gegenüber der Ekliptik (Laplace-Ebene) konstant etwa 5°. Setzt man allerdings zum Beispiel die Daten des Jupitermondes Io ein, so erhält man, dass die Knoten fast 40.000 Jahre für einen vollen Umlauf bräuchten – ein Effekt, der um fast vier Zehnerpotenzen kleiner ist als der durch die Abplattung des Zentralplaneten hervorgerufene.

Lage der Laplace-Ebenen wichtiger Jupitermonde in Bezug auf die Rotations- und Bahnebene des Jupiter. Die Pole der verschiedenen Ebenen sind im Diagramm auf die Ekliptik projiziert, so dass der Pol der Ekliptik im Ursprung liegt. Der Frühlingspunkt liegt dabei in Richtung der x-Achse. Ebenfalls dargestellt sind die Pole der Bahnebenen der äußeren Planeten.

Im System der zahlreichen Jupitermonde können die verschiedenen oben beschriebenen Effekte beispielhaft nachvollzogen werden.[7] Wie man in nebenstehender Grafik erkennen kann, ordnen sich die Pole der Laplace-Ebenen der inneren Monde alle in der Nähe der Rotationsachse des Zentralplaneten unten links im Diagramm an. Die Laplace-Ebene von Kallisto (IV), die einen Abstand von knapp 1,9 Mio. km zum Jupiter hat, ist dabei schon deutlich in die Richtung der Bahnebene des Jupiters und damit der Ebene, in der die Sonne als Störkörper wirkt, gezogen.

Der nächstäußere Mond Themisto (XVIII), der etwa 7,5 Mio. km Abstand vom Jupiter hat, hat eine Laplace-Ebene, die schon vornehmlich von der Bahnebene und kaum noch von der Äquatorebene beeinflusst wird (oben rechts im Diagramm). In diesem Bereich ordnen sich auch alle anderen äußeren Monde des Jupiters an. Allerdings wird unmittelbar deutlich, dass allein das Wechselspiel von Äquator- und Bahnebene des Jupiters nicht zur Erklärung der Laplace-Ebenen dieser Monde ausreicht. Diese liegen vielmehr in einer großen Wolke um die Bahnebene des Jupiters. Grund dafür sind die Drehmomente, die in Richtung der Bahnpole der drei weiter außen liegenden großen Planeten Saturn, Uranus und Neptun wirken, die daher ebenfalls eingezeichnet sind. Dieser Effekt lässt sich deutlich im ersten Diagramm dieses Artikels für den Saturnmond Iapetus erkennen, dessen Laplace-Ebene deutlich aus der Verbindungslinie zwischen Rotationsachse und Bahnpol in Richtung der Bahnpole der weiter außen gelegenen Planeten gezogen wird.

Ein besonders extremer Fall ist die Laplace-Ebene von Ananke (XII), die fast drei Grad über die Bahnebene des Jupiters hinaus geneigt ist und auch jenseits der Bahnebene des Saturns im Diagramm liegt. Unter allen bekannten Jupitermonden stellt Ananke damit einen krassen Ausreißer dar, der nur durch speziell hier auftretende Bahnstörungen erklärt werden kann.

Die Laplace-Ebene ist nicht zu verwechseln mit der invariablen Ebene. Diese entsteht durch den Gesamtdrehimpuls eines Systems (Planet-Monde-System oder Sonne-Planeten-System) und erstreckt sich im Gegensatz zur Laplace-Ebene (Animation oben rechts im Artikel) durch deren Baryzentrum (Massen-Schwerpunkt). Der Vektor des Gesamtdrehimpulses steht senkrecht auf der invariablen Ebene. Der Gesamtdrehimpuls beinhaltet die Bewegungen des umlaufenden Körpers um das Zentralobjekt, nicht jedoch die Eigenrotationen, wie in der Laplace-Ebene. Die Darstellung des Gesamtdrehimpulses lautet ${\displaystyle L=R^{2}M{\dot {\theta }}}$, mit ${\displaystyle R}$ als dem Abstand des Planeten von Baryzentrum, mit ${\displaystyle M}$ als der Planetenmasse und ${\displaystyle {\dot {\theta }}}$ als der Winkelgeschwindigkeit des Planeten um das Baryzentrum. Weil auf das Sonnensystem selbst keine (bekannten) äußeren Kräfte einwirken, die eine Präzession des Gesamtdrehimpulses zur Folge hätten, besitzt das Sonnensystem keine Laplace-Ebene. Laplace-Ebenen kommen nur bei Planet-Monde-Systemen vor.

1. Die Richtung der vektoriellen Winkelgeschwindigkeit ist parallel zum Bahndrehimpuls.
2. Setzt man eine Bahn geringer Exzentrizität voraus, führt genauere Rechnung auf eine Änderung der vektoriellen mittleren Winkelgeschwindigkeit des umlaufenden Körpers von

   ${\displaystyle {\dot {\vec {\omega }}}=-{\frac {3J_{2}R^{2}}{2a^{2}}}\langle {\vec {\omega }},{\vec {n}}\rangle {\vec {n}}\times {\vec {\omega }},}$

   wobei ${\displaystyle J_{2}}$ das dimensionslose Quadrupolmoment, ${\displaystyle {\vec {n}}}$ der Richtungsvektor der Rotationsachse des Zentralobjekts, R dessen Radius und a die große Halbachse der Umlaufbahn bezeichnet (die spitzen Klammern stellen das Skalarprodukt dar). Durch das Vektorprodukt steht die Änderung der Winkelgeschwindigkeit senkrecht auf der Winkelgeschwindigkeit, so dass diese ihren Betrag zeitlich nicht ändert.
3. Das Quadrupolmoment eines homogenen Rotationsellipsoids beträgt ${\displaystyle J_{2}={\frac {2}{5}}f,}$ wobei f die Abplattung des Körpers ist. Reale Planeten sind hingegen nicht homogen; ihre Dichte nimmt mit wachsender Entfernung vom Mittelpunkt ab. Nimmt man an, dass der Körper aus Schichten gleicher Dichte aufgebaut ist, ist das Quadrupolmoment durch ${\displaystyle J_{2}={\frac {I}{MR^{2}}}f}$ gegeben, wobei I das Trägheitsmoment bezeichnet.
4. Das Drehmoment, das dieser Massering auf den umlaufenden Körper bewirkt, erzeugt eine Änderung der vektoriellen mittleren Winkelgeschwindigkeit des umlaufenden Körpers von:

   ${\displaystyle {\dot {\vec {\omega }}}=-{\frac {3GM}{4r^{3}\omega ^{2}}}\langle {\vec {\omega }},{\vec {n}}\rangle {\vec {n}}\times {\vec {\omega }},}$

   wobei M die Masse des Störkörpers, ${\displaystyle {\vec {n}}}$ der Richtungsvektor der Winkelgeschwindigkeit des Störkörpers und r sein Abstand zum System ist.
5. Die entsprechende Differentialgleichung für die Winkelgeschwindigkeit lautet

   ${\displaystyle {\dot {\vec {\omega }}}=-(A+B)\langle {\vec {\omega }},{\vec {n}}\rangle {\vec {n}}\times {\vec {\omega }}}$

   mit ${\displaystyle A:=3J_{2}R^{2}/(2a^{2})}$ und ${\displaystyle B:=3GM/(4r^{3}\omega ^{2})}$.
6. Die Differentialgleichung nimmt die Form

   ${\displaystyle {\dot {\vec {\omega }}}=-\left(A\langle {\vec {\omega }},{\vec {n}}_{z}\rangle {\vec {n}}_{z}+B\langle {\vec {\omega }},{\vec {n}}_{s}\rangle {\vec {n}}_{s}\right)\times {\vec {\omega }}}$

   an. ${\displaystyle {\vec {n}}_{z}}$ bezeichnet hierbei den Richtungsvektor der Rotationsachse des Zentralobjekts, ${\displaystyle {\vec {n}}_{s}}$ den Richtungsvektor der Winkelgeschwindigkeit des Störkörpers. Man sieht dieser Differentialgleichung an, dass der Betrag der Winkelgeschwindigkeit weiterhin konstant ist, da die Änderung der Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle {\dot {\vec {\omega }}}}$ immer senkrecht auf der Winkelgeschwindigkeit selbst steht (wiederum bedingt durch das Kreuzprodukt in der Differentialgleichung). Dadurch ist auch die Größe ${\displaystyle B}$ weiterhin konstant. Allerdings ist der Winkel der Bahnebene nun weder zur Rotationsachse des Zentralkörpers ${\displaystyle {\vec {n}}_{z}}$ noch zur Richtung der Winkelgeschwindigkeit des Störkörpers ${\displaystyle {\vec {n}}_{s}}$ konstant. Die Winkelgeschwindigkeit wandert stattdessen um einen Präzessionspol, der zwischen ${\displaystyle {\vec {n}}_{z}}$ und ${\displaystyle {\vec {n}}_{s}}$ liegt. Die Präzession um diesen Pol ist auch nicht mehr kreisförmig, sondern ellipsenförmig (genauer gesagt, handelt es sich bei der Kurve um eine auf eine Kugel projizierte Ellipse).
7. Betrachtet man die obige DGL genauer, sieht man, dass die Gleichung, da A und B konstant sind, quadratisch in ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ ist. Man kann die DGL als

   ${\displaystyle {\dot {\vec {\omega }}}={\vec {\omega }}\times (M{\vec {\omega }})}$

   schreiben, wobei die Matrix

   ${\displaystyle M:=A|{\vec {n}}_{z}\rangle \langle {\vec {n}}_{z}|+B|{\vec {n}}_{s}\rangle \langle {\vec {n}}_{s}|}$ (Bra-Ket-Schreibweise),

   Rang 2 hat. Die beiden Eigenvektoren der Matrix sind Linearkombinationen der Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {n}}_{z}}$ und ${\displaystyle {\vec {n}}_{s}}$. Der eine Eigenvektor gibt die Richtung der Normalen zur Laplace-Ebene an, der andere die Richtung der großen Halbachse der ellipsenförmigen Kurve, die die vektorielle Winkelgeschwindigkeit um diesen Pol beschreibt.
8. Vernachlässigt man diesen Effekt, kommt man zu einer Näherung obiger Differentialgleichung für kleine Winkel zwischen den Ebenen:

   ${\displaystyle {\dot {\vec {\omega }}}=-(A+B)\langle {\vec {\omega }},{\vec {n}}_{L}\rangle {\vec {n}}_{L}\times {\vec {\omega }},}$

   wobei ${\displaystyle {\vec {n}}_{L}:=(A{\vec {n}}_{z}+B{\vec {n}}_{S})/(A+B)}$ die Normale auf der Laplace-Ebene ist, die also gerade das gewichtete Mittel aus den Normalen auf Äquator- und Störbahnebene ist.

1. Pierre-Simon Laplace: Mécanique céleste. (Englische Übersetzung). Band 4. Little & Brown, Boston 1829, Kap. 17, S. 315 ff. (englisch, archive.org – französisch: Traité de Mécanique céleste. 1805. Übersetzt von Nathaniel Bowditch).
2. R. R. Allan, G. E. Cook: The Long-Period Motion of the Plane of a Distant Circular Orbit, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Vol. 280, No. 1380 (Jul. 7, 1964), pp. 97–109
3. S. Laplace, Kap. IV, S. 62ff.
4. Satellitenbahnen Projekt TU-München (Memento vom 30. September 2007 im Internet Archive)
5. NASA Earth Fact Sheet
6. NASA Jupiter Fact Sheet
7. Planetary Satellite Mean Orbital Parameters vom JPL
8. M. Schneider: Himmelsmechanik, Kap. 26, Bd. 2, BI Wiss. Verlag, Mannheim (1993), S. 542--550