Langevin-Gleichung

Die Abbildung rechts zeigt einen elektrischen Stromkreis bestehend aus einem Widerstand mit elektrischem Widerstand ${\displaystyle R}$ und einem Kondensator mit Kapazität ${\displaystyle C}$. Die langsame Variable ist die Spannung ${\displaystyle U}$ am Kondensator oder Widerstand. Die Hamiltonian lautet ${\displaystyle {\mathcal {H}}=E/(k_{\text{B}}T)=CU^{2}/(2k_{B}T)}$, und die Langevingleichung wird

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {U}{RC}}+\eta \left(t\right),\;\;\left\langle \eta \left(t\right)\eta \left(t^{\prime }\right)\right\rangle ={\frac {2k_{\text{B}}T}{RC^{2}}}\delta \left(t-t^{\prime }\right).}$

Die daraus folgende Korrelationsfunktion

${\displaystyle \left\langle U\left(t\right)U\left(t^{\prime }\right)\right\rangle =\left(k_{\text{B}}T/C\right)\exp \left(-\left\vert t-t^{\prime }\right\vert /RC\right)\approx 2Rk_{\text{B}}T\delta \left(t-t^{\prime }\right),}$

wird zu einem weißen Rauschen (Nyquist-Rauschen, Johnson-Rauschen) wenn die Kapazität klein wird.

Ein Grenzfall der klassischen Langevingleichung ist der Fall starker Reibung (oder kleiner Masse ${\displaystyle m}$). In diesem Fall ist der Trägheitsterm ${\displaystyle m\mathrm {d} \mathbf {v} /\mathrm {d} t}$ vernachlässigbar und man spricht von Überdämpfung. Die Langevingleichung erhält die Form

${\displaystyle \lambda {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\eta }}\left(t\right).}$

Integration und Mittelung des Quadrats über die fluktuierende Kraft liefert ${\displaystyle \left\langle \mathbf {x} (t)^{2}\right\rangle =2k_{\text{B}}TDt/\lambda ,}$ wo ${\displaystyle D}$ die Raumdimension ist. Mit Hilfe dieser Gleichung kann bei bekanntem Reibungskoeffizienten aus experimentell gemessener Diffusion die Boltzmannkonstante ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ bestimmt werden. Die nicht überdämpfte Langevingleichung liefert übrigens dasselbe Diffusionsgesetz.

Hierbei handelt es sich um einen an einem Quarzfaden hängenden Spiegel. Ein am Spiegel reflektierter Lichtstrahl ermöglicht genaue Messungen. Die langsamen Variablen sind Drehimpuls ${\displaystyle j}$ und Auslenkungswinkel ${\displaystyle \phi }$ mit Hamiltonian

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{k_{\text{B}}T}}\left({\frac {j^{2}}{2N}}+{\frac {w\phi ^{2}}{2}}\right).}$

Die Dämpfungskonstante ist über den Luftdruck adjustierbar. Mit Hilfe der entsprechenden Langevingleichung und Experimenten erhält man einen genauen Wert für die Boltzmannkonstante. Umgekehrt beschreibt die Langevingleichung, wie thermische Fluktuationen der Empfindlichkeit von Zeigerinstrumenten eine Grenze setzen.

Der Ordnungsparameter eines kontinuierlichen Phasenübergangs ändert sich in der Nähe des kritischen Punktes nur mehr langsam und seine Dynamik ist mit einer i. A. nichtlinearen Langevingleichung beschreibbar.[4] Der einfachste Fall ist die Universalitätsklasse „Modell A“ mit einem nicht erhaltenen skalaren Ordnungsparameter ${\displaystyle \varphi }$, realisiert z. B. in einem axialen Ferromagneten. Die Langevingleichung lautet

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \varphi \left(\mathbf {x} ,t\right)}{\partial t}}&=-\lambda {\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }}+\eta \left(\mathbf {x} ,t\right),\\{\mathcal {H}}&=\int \mathrm {d} ^{d}x\left\{{\frac {1}{2}}\varphi \left[r_{0}-\nabla ^{2}\right]\varphi +u\varphi ^{4}\right\},\\\left\langle \eta \left(\mathbf {x} ,t\right)\eta \left(\mathbf {x} ',t'\right)\right\rangle &=2\lambda \delta \left(\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right)\delta \left(t-t'\right).\end{aligned}}}$

Andere Universalitätsklassen (die Nomenklatur ist „Modell A“, …, „Modell J“)[4] haben einen diffundierenden Ordnungsparameter, Ordnungsparameter mit mehreren Komponenten, zusätzliche andere langsame Variable und meistens auch Beiträge von Poissonklammern.

Langevingleichungen treten manchmal in unerwartetem anderem Zusammenhang auf. Ein Beispiel ist die Anderson-Lokalisierung. Die zeitunabhängige Schrödingergleichung für ein Teilchen der Masse ${\displaystyle m}$ in einem Potential ${\displaystyle V}$ in einer Dimension lässt sich schreiben

${\displaystyle \psi ''/\psi =\left(2m/\hbar ^{2}\right)\left(V-E\right).}$

Hierbei ist ${\displaystyle \psi }$ die Wellenfunktion, ${\displaystyle \hbar }$ das Wirkungsquantum und ${\displaystyle E}$ ein Energie-Eigenwert. Mit ${\displaystyle f=\psi '/\psi }$ wird die Schrödingergleichung zu[6]

${\displaystyle f'=-f^{2}+\left(2m/\hbar ^{2}\right)\left(V-E\right).}$

Wenn nun das Potential von zufällig verteilten Verunreinigungen herrührt, so dass es mit einem Gaußschen weißen Rauschen mit ${\displaystyle \left\langle V\left(x\right)\right\rangle =0}$ und ${\displaystyle \left\langle V\left(x\right)\left\langle V\left(x'\right)\right\rangle \right\rangle =\delta \left(x-x'\right)}$ beschreibbar ist, dann ist die Gleichung für ${\displaystyle f}$ eine Langevingleichung, wobei die Koordinate ${\displaystyle x}$ die Rolle der Zeit spielt.

Eine Fokker-Planck-Gleichung ist eine deterministische Gleichung für die zeitabhängige Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle P\left(A,t\right)}$ der langsamen Variablen ${\displaystyle A}$. Die der generischen Langevingleichung weiter oben entsprechende Fokker-Planck-Gleichung lässt sich mit Standard-Techniken erhalten (z. B. Ref.[7]),

${\displaystyle {\frac {\partial P\left(A,t\right)}{\partial t}}=\sum _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{i}}}\left(-k_{\text{B}}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\partial }{\partial A_{j}}}\right)P\left(A,t\right).}$

Die Gleichgewichtsverteilung ${\displaystyle P(A,t)=p_{0}(A)={\text{const}}\times \exp(-{\mathcal {H}})}$ ist eine stationäre Lösung.

Ein zu einer Langevingleichung äquivalentes Pfadintegral kann man aus der entsprechenden Fokker-Planck-Gleichung oder direkt aus der Langevingleichung[8] erhalten. Das der generischen Langevingleichung entsprechende Pfadintegral ist

${\displaystyle \int P(A,{\tilde {A}})\,\mathrm {d} A\,\mathrm {d} {\tilde {A}}=N\int \exp \left(S(A,{\tilde {A}})\right)\mathrm {d} A\,\mathrm {d} {\tilde {A}},}$

wo ${\displaystyle N}$ ein Normierungsfaktor ist und

${\displaystyle S(A,{\tilde {A}})=\int \sum _{i,j}\left\{{\tilde {A}}_{i}\lambda _{i,j}{\tilde {A}}_{j}-{\widetilde {A}}_{i}\left\{\delta _{i,j}{\frac {\mathrm {d} A_{j}}{\mathrm {d} t}}-k_{\text{B}}T\left[A_{i},A_{j}\right]{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}+\lambda _{i,j}{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {H}}}{\mathrm {d} A_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} \lambda _{i,j}}{\mathrm {d} A_{j}}}\right\}\right\}\mathrm {d} t.}$

Die Hilfsvariablen ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ heißen Antwort-Variablen. Die Pfadintegraldarstellung vereinfacht die Anwendung von Techniken der Quantenfeldtheorie, wie etwa der Störungsrechnung und der Renormierungsgruppe.