Ladungsradius

Beim „mittleren quadratischen Ladungsradius“ oder „quadratisch gemittelten Ladungsradius“ (englisch root mean square [rms] charge radius) wird das Quadrat des Abstands vom Zentrum der Ladungsverteilung ${\displaystyle r}$ mit der Ladungsdichte ${\displaystyle \rho (r)}$ gewichtet und somit ein gewichtetes quadratisches Mittel erhalten:

${\displaystyle R={\sqrt {\langle r^{2}\rangle }}\quad }$ mit ${\displaystyle \quad \langle r^{2}\rangle ={\frac {1}{Q}}\int r^{2}\rho ({\vec {r}})\,\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}={\frac {1}{Q}}\int r^{2}\rho (r)\,4\pi \,r^{2}\,\mathrm {d} r\,.}$

Für das Neutron ist ${\displaystyle \langle r^{2}\rangle }$ nicht Null, sondern ein kleiner, negativer Wert (man normiert hier mit Q = +1e). Zwar ist das Neutron elektrisch neutral, aber zur Mitte hin überwiegt die positive Ladung und nach außen die negative. In diesem Fall gibt man nicht den Wert von R an (er wäre eine imaginäre Zahl), sondern den Wert von ${\displaystyle \langle r^{2}\rangle }$.

Der Halbwertsradius R_1/2 ist der Radius, bei dem die Dichte im Vergleich mit dem Zentrum auf die Hälfte abgefallen ist:

${\displaystyle \rho (R_{1/2})={\frac {1}{2}}\rho (0)}$

Diese Definition findet bei Atomkernen Verwendung. Bei größeren Atomkernen ist die Masse- und Ladungsdichte vom Zentrum bis zu einem gewissen Radius konstant und fällt dann relativ steil ab, wobei die Dicke dieses Übergangsbereichs für alle Massenzahlen fast gleich ist. Der Halbwertsradius ist ungefähr proportional zur dritten Wurzel der Massenzahl.

Für eine homogen geladene Kugel mit dem Radius R_e (also scharfem Rand) gilt ${\textstyle \langle r^{2}\rangle ={\frac {3}{5}}R_{e}^{2}}$. Daraus ergibt sich

${\displaystyle R_{e}={\sqrt {{\frac {5}{3}}\langle r^{2}\rangle }}}$.

Bei Streuexperimenten verwendet man üblicherweise Strahlen von Elektronen. Elektronen unterliegen der elektromagnetischen Wechselwirkung, nicht aber der in diesem Fall störenden starken Wechselwirkung, und werden von der Ladungsverteilung des beschossenen Objekts direkt beeinflusst. Überdies sind sie leicht zu erzeugen und punktförmig. Man misst die Abhängigkeit der Streuwahrscheinlichkeit vom Impulsübertrag q und vergleicht sie mit dem Wert, den man erhielte, wenn das Zielobjekt punktförmig wäre. Das Verhältnis beider Werte wird als Formfaktor ${\displaystyle F(q)}$ bezeichnet. Für eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung ist er durch

${\displaystyle F(q)={\frac {4\pi }{Q}}\int \operatorname {si} {\frac {qr}{\hbar }}\rho (r)\,r^{2}\,\mathrm {d} r={\frac {4\pi }{Q}}\int \left(1-{\frac {(qr)^{2}}{6\hbar ^{2}}}+{\mathcal {O}}(qr)^{4}\right)\rho (r)\,r^{2}\mathrm {d} r}$

gegeben, wobei ${\textstyle \operatorname {si} }$ der Kardinalsinus ist und ${\textstyle {\mathcal {O}}(qr)^{4}}$ für Terme vierter und höherer Ordnung in der Taylorreihenentwicklung steht. Aus ${\displaystyle \textstyle 4\pi \int \rho (r)r^{2}\,\mathrm {d} r=Q}$ folgt

${\displaystyle F(q)=1-{\frac {q^{2}}{6\hbar ^{2}}}\langle r^{2}\rangle +{\mathcal {O}}(q^{4})\,}$.

Aus dem Verlauf des Formfaktors kann der Ladungsradius durch

${\displaystyle \langle r^{2}\rangle =-6\hbar ^{2}\left.{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} q^{2}}}\right|_{q^{2}=0}}$

berechnet werden.

Um den Ladungsradius von Teilchen wie Neutronen, Pionen oder Kaonen zu bestimmen, die man nicht als Target darstellen kann, führt man das Streuexperiment umgekehrt durch: Man erzeugt einen Strahl dieser Teilchen und lässt sie mit den Elektronen in einem ruhenden Target wechselwirken.

Eine weitere Möglichkeit besteht in der atomaren Spektroskopie, die man insbesondere für die Vermessung des Protons verwendet. Das Proton ist im Vergleich zum gesamten Wasserstoffatom winzig, trotzdem hat seine räumliche Ausdehnung einen Einfluss auf die atomaren Energieniveaus.

Für Präzisionsmessungen verwendet man myonischen Wasserstoff, in dem das Elektron durch ein 207-mal schwereres Myon ersetzt ist. Der Atomradius ist proportional zu ${\textstyle m_{\mathrm {e} ,\mu }^{-1}}$ und demnach um diesen Faktor kleiner; die Auswirkung der räumlichen Ausdehnung des Protons ist proportional zu ${\textstyle m_{\mathrm {e} ,\mu }^{3}}$. Trotzdem ist der Effekt klein (im Übergang 2p_1/2−2s_1/2: 3,7 meV) verglichen mit anderen (Lamb-Verschiebung und Hyperfeinstruktur: 206 meV). Daher sind komplizierte quantenelektrodynamische Rechnungen erforderlich (siehe Uehling-Effekt).[6]

Unterschiede im Ladungsradius von Isotopen schwererer Atome kann man durch optische Spektroskopie (optical isotope shift – OIS) und in der charakteristischen Röntgenstrahlung (K_α isotope shift – KIS) beobachten.