L²-Homologie

Sei ${\displaystyle G}$ eine Gruppe und ${\displaystyle X}$ ein CW-Komplex von endlichem Typ mit einer freien, zellulären Wirkung der Gruppe ${\displaystyle G}$.

Sei ${\displaystyle C_{*}(X)}$ der zelluläre Kettenkomplex mit der Wirkung von ${\displaystyle G}$ und sei ${\displaystyle l^{2}(G)}$ der Hilbert-Modul, den man als Vervollständigung des Gruppenrings ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ bezüglich des Skalarprodukts ${\displaystyle \textstyle \langle \sum _{g\in G}a_{g}g,\sum _{g\in G}b_{g}g\rangle =\sum _{g\in G}{\overline {a_{g}}}b_{g}}$ erhält. Wir definieren den ${\displaystyle l^{2}}$-Kettenkomplex als

${\displaystyle C_{*}^{(2)}(X):=l^{2}(G)\otimes _{\mathbb {C} [G]}C_{*}(X)}$.[1]

Der Rand-Operator ${\displaystyle \partial _{*}\colon C_{*}(X)\to C_{*-1}(X)}$ induziert einen Rand-Operator

${\displaystyle \partial _{*}^{(2)}\colon C_{*}^{(2)}(X)\to C_{*-1}^{(2)}(X)}$.

Die ${\displaystyle l^{2}}$-Homologie ist dann definiert als

${\displaystyle H_{*}^{(2)}(X):=\mathrm {Kern} (\partial _{*}^{(2)})/{\overline {\mathrm {Bild} (\partial _{*+1}^{(2)})}}}$.

Sie ist ein Hilbert-${\displaystyle G}$-Modul.

Die ${\displaystyle p}$-te ${\displaystyle L^{2}}$-Betti-Zahl ist durch

${\displaystyle b_{p}^{(2)}(X):=\dim _{{\mathcal {N}}(G)}H_{p}^{(2)}(X)}$

definiert.[2] Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \dim _{{\mathcal {N}}(G)}}$ die von-Neumann-Dimension des Hilbert-${\displaystyle {\mathcal {N}}(G)}$-Moduls ${\displaystyle H_{p}^{(2)}(X)}$.[3]

• W. Lück: L²-invariants: Theory and applications to geometry and K-theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 44. Berlin: Springer (2002).
• H. Kammeyer: Introduction to l²-invariants. Lecture Notes in Mathematics 2247. Cham: Springer (2019).
• C. Löh: Ergodic theoretic methods in group homology. A minicourse on L²-Betti numbers in group theory. SpringerBriefs in Mathematics. Cham: Springer (2020).

1. Lück: Definition 1.29 (dort über ${\displaystyle \mathbb {Z} }$)
2. Lück: Def. 1.16 + 1.29
3. Lück: Def. 1.10