L-Unverfälschtheit

Die L-Unverfälschtheit ist in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik, eine Eigenschaft eines Punktschätzers. Sie verallgemeinert die Erwartungstreue und enthält als weiteren Spezialfall die Median-Unverfälschtheit. Die Verallgemeinerung findet über die Verwendung einer allgemeinen Verlustfunktion statt.

Definition

Gegeben seien ein statistisches Modell $(X,{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })$ sowie eine Verlustfunktion ${\displaystyle L(\cdot$ . Es sei

R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta ,S)=\int _{X}L(g(\vartheta );S)\mathrm {d} P_{\vartheta _{0}}

das Risiko des Punktschätzers $S$ an der Stelle $\vartheta$ , gemessen bezüglich $P_{\vartheta _{0}}$

Dann heißt ein Schätzer $S$ L-unverfälscht, wenn für alle $\vartheta _{0}\in \Theta$ gilt:

R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta _{0},S)\leq R_{P_{\vartheta _{0}}}(\vartheta ,S)

für alle

\vartheta \in \Theta

.

L-unverfälschte Schätzer liegen also bezüglich der Verlustfunktion L, gemessen mit $P_{\vartheta _{0}}$ , näher an dem Wert $g(\vartheta _{0})$ als an jedem weiteren Wert $g(\vartheta )$ .

Beispiele

Gauß-Verlust

Wählt man als Verlustfunktion den Gauß-Verlust

L(\vartheta ;a)=(g(\vartheta )-a)^{2}

,

so ist $S\in L^{2}((P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })$ (siehe L^p-Raum) genau dann L-unverfälscht, wenn $S$ ein erwartungstreuer Schätzer für $g$ ist.

Laplace-Verlust und Median-Unverfälschtheit

Wählt man als Verlustfunktion den Laplace-Verlust

L(\vartheta ;a)=|g(\vartheta )-a|

,

so ist $S$ genau dann L-unverfälscht, wenn $S$ Median-unverfälscht ist, das heißt, es gilt für alle $\vartheta \in \Theta$

P_{\vartheta }(S\geq g(\vartheta ))\geq {\frac {1}{2}}

und

P_{\vartheta }(S\leq g(\vartheta ))\geq {\frac {1}{2}}

.

Literatur

Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.

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