Lévy-Verteilung
Lévy-Verteilungen (benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy) sind eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit der besonderen Eigenschaft eines jeweils unendlichen Erwartungswerts.
Definition
Die Dichtefunktion der Lévy-Verteilungen lautet
- ., mit den beiden Parametern .
- ist ein Lageparameter und definiert die Position auf der -Achse;
- ist ein Skalenparameter (Stauchung für ; Streckung für ).
Standard-Lévy-Verteilung
Die Standard-Lévy-Verteilung ist die Lévy-Verteilung mit den Parameterwerten ; ihre Dichtefunktion lautet damit:
- .
Eigenschaften
Die Standard-Lévy-Verteilung gehört (wie die Normalverteilung und die Cauchy-Verteilung) zur übergeordneten Familie der alpha-stabilen Verteilungen, d. h., sie erfüllt die Bedingung:
(hier mit ) für alle unabhängigen Standard-Lévy-verteilten Zufallsgrößen . Da die Theorie der -stabilen Verteilungen maßgeblich von Lévy mitgestaltet wurde, spricht man, um Verwechslungen vorzubeugen, auch oft von der eigentlichen Lévy-Verteilung.
Momente
Die Lévy-Verteilung besitzt keinen endlichen Erwartungswert, denn es gilt . Die Lévy-Verteilung gehört somit zu den Verteilungen mit schweren Rändern, die vor allem dazu verwendet werden, extreme Ereignisse (z. B. einen Börsencrash in der Finanzmathematik) zu modellieren.
Anwendung
Mit der Lévy-Verteilung lassen sich verschiedene Phänomene insbesondere in der Natur beschreiben:
- Verlauf von Börsenkursen[1]
- Umpolung des Erdmagnetfeldes[2]
- Intervalle zwischen aufeinander folgenden Tönen in Melodien[3]
- Pfade von Wildtieren bei der Futtersuche[4]
- Teilchenbewegungen in turbulenten Strömungen[5]
Einzelnachweise
- Applebaum, D.: Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes. (PDF; 282 kB) University of Sheffield, 22. Juli 2010, S. 37–53, abgerufen am 13. Juni 2014.
- Belle Dumé: Geomagnetic flip may not be random after all. In: physicsworld.com. 21. März 2006, abgerufen am 13. Juni 2014.
- Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).
- Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).
- Lisa Zyga: Musical melodies obey same laws as foraging animals. In: phys.org. Science X Network, 8. Januar 2016, abgerufen am 23. April 2023 (englisch).