Kusszahl

Die erste Kusszahl ist 2.

Die zweite Kusszahl ist 6.

n = 1:  In einer Dimension ist die Einheitskugel keine Kugel, sondern eine Strecke, deren Endpunkte den Abstand 1 vom Ursprung haben. Hier kann an beide Endpunkte jeweils eine weitere Strecke angefügt werden, sodass die Kusszahl für eine Dimension offensichtlich 2 ist.

n = 2:  In der zweiten Dimension ist die Einheitskugel keine Kugel, sondern ein Kreis mit Radius 1. Anschaulich entspricht damit das Problem der Ermittlung der Kusszahl in dieser Dimension der Aufgabe, möglichst viele Münzen so anzuordnen, dass sie alle eine gleich große zentrale Münze berühren. Es ist leicht zu sehen (und zu beweisen), dass die Kusszahl für die zweite Dimension 6 ist.

n = 3:  In der dritten Dimension ist die Ermittlung der Kusszahl nicht so einfach; vgl. die Graphik rechts. Es ist leicht, zwölf Kugeln so anzuordnen, dass sie die zentrale Kugel berühren (beispielsweise so, dass ihre Mittelpunkte die Ecken eines Kuboktaeders bilden). Man erkennt aber noch viel Leerraum zwischen den Kugeln und fragt sich, ob eine dreizehnte Kugel hinzugefügt werden kann. Dieses Problem war Thema eines berühmten Streites zwischen Isaac Newton und dem Mathematiker David Gregory, den diese 1692 über die Keplerschen Vermutung führten. Newton behauptete, das Maximum sei zwölf, Gregory meinte, es sei dreizehn. Im 19. Jahrhundert erschienen die ersten Veröffentlichungen,[1][2][3] die behaupteten, den Beweis für Newtons Behauptung zu enthalten. Nach heutigen Standards wurden formelle Beweise jedoch erst 1953 von Kurt Schütte und Bartel Leendert van der Waerden[4] und 1956 von John Leech[5] erbracht.

n = 4:  Erst Anfang des 21. Jahrhunderts wurde bewiesen, dass die Kusszahl für die vierte Dimension 24 ist.[6]

n > 4:  Ferner sind die Kusszahlen für die Dimensionen  n = 8  (240) und  n = 24  (196.560) bekannt; im 24-dimensionalen Raum werden die Kugeln auf den Punkten des Leech-Gitters platziert, sodass kein Platz übrig ist. Die exakten Kusszahlen für die Dimensionen 8 und 24 wurden 1979 unabhängig voneinander von Andrew M. Odlyzko und Neil J. A. Sloane[7] bzw. Vladimir Levenshtein[8] ermittelt.

Die folgende Tabelle gibt die bekannten Grenzen für die Kusszahl bis zur Dimension 24 wieder.[9]

Die dritte Kusszahl ist 12.
Die mittige Kugel (rot) wird von
6 Kugeln (grün) in gleicher Ebene,
3 Kugeln (gelb) darüber und
3 Kugeln (blau, 60° gegen gelbe verdreht) darunter berührt.

Das exponentielle Wachstum der Kusszahlen; Dimensionen 1 bis 24. Die graue Fläche ist durch die oberen und unteren Grenzen (s. Tabelle) begrenzt.

Schätzungen zeigen, dass das Wachstum der Kusszahlen exponentiell ist; vgl. Graphik neben der Tabelle. Die Basis des exponentiellen Wachstums ist unbekannt.

Über die Kusszahlen in noch höheren Dimensionen ist eher wenig bekannt; untere Schranken sind etwa für die Dimensionen  n = 32  (276.032),  n = 36  (438.872),  n = 40  (991.792),  n = 44  (2.948.552),  n = 64  (331.737.984) und  n = 80  (1.368.532.064) bekannt.[12]

Die exakten Gitterkusszahlen sind für die Dimensionen 1 bis 9 und 24 bekannt.[13][14]
Die folgende Tabelle gibt die Gitterkusszahlen bzw. die bekannten unteren Grenzen bis zur Dimension 24 wieder:

Werden die Kugelradien auf ${\displaystyle 1/2}$ normiert und der Ursprung des Koordinatensystems in den Mittelpunkt der zentralen Kugel gelegt, dann muss bei ${\displaystyle N}$ küssenden Kugeln das folgende System von Ungleichungen erfüllt sein:

${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle x{\Big (}}$${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle n:||x_{n}||=1\land \forall n\neq m:||x_{n}-x_{m}||\geq 1{\Big )}}$

Dabei laufen ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ von ${\displaystyle 1}$ bis ${\displaystyle N}$ und ${\displaystyle x=(x_{n})_{n\in \{1\dots {N}\}}}$ ist die Sequenz der Vektoren zu den ${\displaystyle N}$ Kugelmittelpunkten, ${\displaystyle ||a||}$ ist die Norm (Länge) des Vektors ${\displaystyle a}$.[17] Aus Symmetriegründen reicht es, wenn der zweite Allquantor sich über alle ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ mit ${\displaystyle m<n}$ erstreckt.
In einem ${\displaystyle D}$-dimensionalen reellen Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{D}}$ wird daraus nach Übergang zu den Normquadraten in Matrixschreibweise

${\displaystyle \exists x{\Big (}\forall n:{x_{n}}^{T}x_{n}=1\land \forall m<n:(x_{n}-x_{m})^{T}(x_{n}-x_{m})\geq 1{\Big )}}$ .

Dabei sind die Vektoren ${\displaystyle x}$ als Spaltenvektoren aufgefasst, und ${\displaystyle x^{T}}$ ist der entsprechende Zeilenvektor (Transponierte Matrix), ${\displaystyle a^{T}\!b}$ das Skalarprodukt. Dieses System von Ungleichungen geht nach Umformung und Einführung von Hilfsvariablen ${\displaystyle y_{mn}}$[18] über in das Gleichungssystem

${\displaystyle \exists x,y:\sum _{n=1}^{N}({x_{n}}^{T}x_{n}-1)^{2}+\sum _{\begin{smallmatrix}(m,n)\in {N}\times {N}\\m<n\end{smallmatrix}}{\big (}(x_{n}-x_{m})^{T}(x_{n}-x_{m})-1-{y_{mn}}^{2}{\big )}^{2}=0}$.

Das obige Gleichungssystem hat insgesamt ${\displaystyle D\!\cdot \!{N}}$ Gleichungen für die ${\displaystyle N}$ Vektoren ${\displaystyle x}$, dazu kommen die Hälfte[19] von ${\displaystyle N\!\cdot \!(N\!-\!1)}$ für die Matrix ${\displaystyle y}$; insgesamt also ${\displaystyle D\!\cdot \!{N}+N\!\cdot \!(N\!-\!1)/2}$ Gleichungen. Wegen der relativen Größe der zu testenden Zahl ${\displaystyle N}$ der küssenden Kugeln stößt man schnell an die praktischen Grenzen der Berechenbarkeit.

Abschätzungen
Die allgemeine Form der unteren Grenze für ${\displaystyle n}$-dimensionale Gitterkennzahlen ist gegeben durch

${\displaystyle \eta \geq {\frac {\zeta (n)}{2^{n-1}}}}$ ,[20]

wobei ${\displaystyle \zeta }$ die Riemannsche Zeta-Funktion ist. Diese Grenze wird durch den Satz von Minkowski-Hlawka (nach Hermann Minkowski und Edmund Hlawka) spezifiziert.

• dichteste Kugelpackung

• Florian Pfender, Günter M. Ziegler: Kissing Numbers, Sphere Packings, and Some Unexpected Proofs. Notices of the American Mathematical Society, S. 873–883. (PDF)
• Eric W. Weisstein: Kissing Number. In: MathWorld (englisch).
• Christine Bachoc, Frank Vallentin: New upper bounds for kissing numbers from semidefinite programming. In: Journal of the American Mathematical Society. Band 21, 2008, S. 909–924. arxiv:math.MG/0608426
• John Horton Conway, Neil James Alexander Sloane, Eiichi Bannai: Sphere packings, lattices, and groups. Springer, 1999. ISBN 978-0-387-98585-5. eingeschränkte Online-Version (Google books)
• Casselman zum Kissing Number Problem und seiner Geschichte, Notices of the AMS, 2004, Heft 8, PDF-Datei

1. C. Bender: Bestimmung der größten Anzahl gleich Kugeln, welche sich auf eine Kugel von demselben Radius, wie die Übrigen, auflegen lassen. In: Archiv Math. Physik. (Grunert) Band 56, 1874, S. 302–306.
2. S. Günther: Ein stereometrisches Problem. In: Archiv Math. Physik. Band 57, 1875, S. 209–215.
3. R. Hoppe: Bemerkung der Redaction. In: Archiv Math. Physik. (Grunert) Band 56, 1874, S. 307–312
4. Schütte, van der Waerden: Das Problem der dreizehn Kugeln. In: Math. Annalen. Band 125, 1953, S. 325–334.
5. Leech: The Problem of Thirteen Spheres. In: The Mathematical Gazette. Band 40, 1956, S. 22–23
6. Oleg R. Musin: The kissing number in four dimensions. In: Annals of Mathematics. Vol. 168, Nr. 1, 2008, S. 1–32, arxiv:math/0309430.
7. Andrew M. Odlyzko, Neil J. A. Sloane: New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in n dimensions. In: J. Combin. Theory. Ser. A, Band 26, 1979, Nr. 2, S. 210–214
8. Vladimir I. Levenshtein: О границах для упаковок в n-мерном евклидовом пространстве. Nr. 6, Dokl. Akad. Nauk SSSR 245 1979. S. 1299–1303
9. Hans D. Mittelmann, Frank Vallentin: High accuracy semidefinite programming bounds for kissing numbers. arxiv:0902.1105
10. Folge A001116 in OEIS
11. https://www.wolframalpha.com/input/?i=kissingnumber Beweis von Zinov'ev und Ericson
12. Yves Edel, E. M. Rains, N. J. A. Sloane: On Kissing Numbers in Dimensions 32 to 128. In: The Electronic Journal of Combinatorics. Band 5, Heft 1, 1998
13. John Horton Conway, Neil J. A. Sloane: The Kissing Number Problem. und Bounds on Kissing Numbers. In: John Horton Conway, Neil J. A. Sloane: Sphere Packings, Lattices, and Groups. 2. Auflage. Springer-Verlag, New York 1993. S. 21–24 und 337–339, ISBN 0-387-98585-9.
14. Neil J. A. Sloane, Gabriele Nebe: Table of Highest Kissing Numbers Presently Known.
15. Eric W. Weisstein: Coxeter-Todd-Gitter. In: MathWorld (englisch).
16. Eric W. Weisstein: Leech-Gitter. In: MathWorld (englisch).
17. Sergei Kucherenko et al.: New formulations for the Kissing Number Problem, in: Discrete Applied Mathematics, Volume 155, Issue 14, 1. September 2007, Seiten 1837–1841, doi:10.1016/j.dam.2006.05.012. Der Autor arbeitet mit auf 1 normierten Kugelradien.
18. d. h. einer Hilfsmatrix ${\displaystyle y=(y_{mn})_{N\times {N}}}$, von der nur die Koeffizienten mit ${\displaystyle m<n}$ benötigt werden. Insbesondere können die ${\displaystyle y_{nn}}$ auf 0 festgelegt werden, und die Matrix wahlweise als symmetrisch, antisymmetrisch oder als Dreiecksmatrix angenommen werden.
19. wegen Symmetrie
20. Eric W. Weisstein: Minkowski-Hlawka Theorem. In: MathWorld (englisch).