Kugelkondensator

Unter einem Kugelkondensator oder sphärischen Kondensator[1] versteht man einen elektrischen Kondensator, der aus zwei konzentrischen, gegeneinander isolierten, metallischen Kugeloberflächen besteht.

Kugelkondensator mit den Radien

R_{1}

und

R_{2}

Für die Kapazität eines Kugelkondensators mit den Radien $R_{1}$ und $R_{2}$ gilt

C=4\pi \varepsilon {\frac {R_{2}R_{1}}{R_{2}-R_{1}}}

, mit

\varepsilon =\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}

ε₀ ist hierbei die elektrische Feldkonstante. ε_r ist die Dielektrizitätszahl, welche im Vakuum gleich 1 ist.

Herleitung der Formel für die Kapazität

Für eine infinitesimal kleine Kugelschale zwischen R₁ und R₂ gilt für das infinitesimal kleine Reziproke der Kapazität der bekannte Zusammenhang des Plattenkondensators:

\mathrm {d} {\frac {1}{C}}={\frac {1}{\varepsilon }}\cdot {\frac {\mathrm {d} r}{A(r)}}={\frac {1}{\varepsilon }}\cdot {\frac {\mathrm {d} r}{4\pi r^{2}}}

wobei A(r) die Oberfläche einer Kugel ist. Integriert man nun, so ergibt sich:

{\frac {1}{C}}=\int \limits _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {1}{\varepsilon }}\cdot {\frac {\mathrm {d} r}{4\pi r^{2}}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\cdot \left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)

Umgestellt nach der Kapazität C ergibt dies oben genannte Formel.

Alternativ lässt sich auch die Definition $C={\frac {Q}{U}}$ nutzen, wenn man die Formel im Abschnitt Spannung zwischen innerer und äußerer Platte verwendet.

Sonderfälle

Sehr kleiner Abstand

Wenn $d=R_{2}-R_{1}\ll R_{1}$ , kann man angenähert $R_{1}=R_{2}=R$ setzen und erhält $C=4\pi \varepsilon {\frac {R^{2}}{d}}$ .

Sehr großer Abstand

Papierkondensator mit der Kapazität 5000 cm.

Wenn $R_{1}\ll R_{2}$ ist, kann man angenähert $R_{2}-R_{1}=R_{2}$ setzen und erhält $C=4\pi \varepsilon R_{1}$ . Die Kapazität wird dann praktisch nur vom Radius der Innenkugel bestimmt.

Diese Näherung beschreibt auch die Kapazität einer freistehenden Kugel (auch als Kugelelektrode[1] bezeichnet), da hier die Gegenelektrode sehr weit entfernt ist ( $R_{2}\to \infty$ und somit $R_{1}\ll R_{2}$ ). Der Radius einer solchen Kugelelektrode im Vakuum diente früher als Maßeinheit der Kapazität mit folgender Äquivalenz:

1\,\mathrm {cm} \equiv 4\pi \varepsilon _{0}\cdot 1\,\mathrm {cm} \approx 1{,}11265\,\mathrm {pF}

Ladung und Ladungsdichte

Beim Kugelkondensator geht man davon aus, dass die beiden Elektroden mit der Ladung $Q$ und $-Q$ entgegengesetzt geladen sind. Diese Ladungen befinden sich als Flächenladungen auf den nach innen gewandten Kugelflächen. Dann lässt sich die Ladungsdichte schreiben als $\varrho (r)={\frac {Q}{4\pi R_{1}^{2}}}\,\delta (r-R_{1})-{\frac {Q}{4\pi R_{2}^{2}}}\,\delta (r-R_{2})$ , wobei $\delta$ die Dirac'sche Delta-Distribution ist.

Elektrisches Feld

Der Vektor des elektrischen Feldes zwischen den zwei Kondensatorschalen besteht wegen der Kugelsymmetrie nur aus der radialen Komponente $E_{r}$ . Diese lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

E_{r}(r)={\frac {Q}{4\pi r^{2}\varepsilon }}

wobei

R_{1}<r<R_{2}

Das Feld ist nicht homogen, sondern abhängig vom Abstand $r$ zum Mittelpunkt des Kondensators. Innerhalb der Elektroden und außerhalb des Kondensators ist kein elektrisches Feld vorhanden.

Elektrisches Potential

Das elektrische Potential ist ein nur von $r$ abhängiges Skalarfeld und berechnet sich, bis auf eine additive Konstante, als $\varphi (r)=-\int _{\infty }^{r}E_{r}(r')\,dr'$ . Dieses Integral kann abschnittsweise ermittelt werden:

Für $r\geq R_{2}$ ist $\varphi (r)=0$ .
Für $R_{1}<r<R_{2}$ ist $\varphi (r)=-\int _{R_{2}}^{r}E_{r}(r')dr'={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}\,\left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)$ .
Für $r\leq R_{1}$ ist $\varphi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}\,\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)$ .

Spannung zwischen innerer und äußerer Platte

Die Spannung zwischen der inneren und äußeren Kugel berechnet sich wie folgt:

U=\varphi (R_{1})-\underbrace {\varphi (R_{2})} _{=0}=\int _{R_{1}}^{R_{2}}E_{r}(r)\,\mathrm {d} r\,={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)

Literatur

Eugen Philippow (Hrsg.): Taschenbuch Elektrotechnik, Band 1. Verlag Technik, Berlin 1968, DNB 365695874, S. 308 ff.
Klaus Lunze: Einführung in die Elektrotechnik: Leitfaden und Aufgaben Teil I: Elektrische Kreise bei Gleichstrom und das elektrische Feld. 3. Auflage. Verlag Technik, Berlin 1964, DNB 453110886, S. 181 ff.

Einzelnachweise

Eugen Philippow: Grundlagen der Elektrotechnik. Akademische Verlagsgesellschaft Geest&Portig K.-G., Leipzig 1967, DNB 457803371, S. 82 ff.

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[phil-1] Eugen Philippow: Grundlagen der Elektrotechnik. Akademische Verlagsgesellschaft Geest&Portig K.-G., Leipzig 1967, DNB 457803371, S. 82 ff.