Krulltopologie

Es sei ${\displaystyle L/K}$ eine nicht notwendigerweise endliche galoissche Körpererweiterung. Für eine unendliche Erweiterung bedeute dabei galoissch, dass die Erweiterung separabel ist und zu jeder endlichen galoisschen Teilerweiterung ${\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}$ auch die normale Hülle von ${\displaystyle M}$ enthält.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Krulltopologie zu definieren:

1. Man definiert die Umgebungsbasis des neutralen Elements als die Menge

${\displaystyle \{G(L/M)\mid K\subseteq M\subseteq L,\ [M:K]<\infty \}}$

der Galoisgruppen für über ${\displaystyle K}$ endliche Teilerweiterungen ${\displaystyle M}$.[1]

2. Es gibt eine kanonische Bijektion

${\displaystyle G(L/K)=\lim _{M}G(M/K),}$

wobei ${\displaystyle M}$ alle über ${\displaystyle K}$ endlichen Teilerweiterungen ${\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}$ durchläuft. Versieht man die endlichen Gruppen ${\displaystyle G(M/K)}$ mit der diskreten Topologie und den projektiven Limes mit der Limestopologie, so erhält man dieselbe Topologie wie unter 1. Mit dieser Darstellung ist ersichtlich, dass ${\displaystyle G(L/K)}$ eine proendliche Gruppe ist.

Die Bedeutung der Krulltopologie liegt darin begründet, dass sie es ermöglicht, den Hauptsatz der Galoistheorie auf unendliche Galoiserweiterungen auszudehnen: Ist ${\displaystyle L/K}$ eine unendliche Galoiserweiterung, so gibt es eine kanonische Bijektion zwischen Teilerweiterungen ${\displaystyle K\subseteq M\subseteq L}$ und abgeschlossenen Untergruppen von ${\displaystyle G(L/K)}$: Einer Erweiterung ${\displaystyle M}$ entspricht die Untergruppe

${\displaystyle G(L/M)\subseteq G(L/K),}$

einer Untergruppe ${\displaystyle U\subseteq G(L/K)}$ die Erweiterung

${\displaystyle L^{U}=\{x\in L\mid \sigma x=x\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ \sigma \in U\}.}$

Eine Teilerweiterung ${\displaystyle M/K}$ ist genau dann normal (und damit galoissch), wenn ${\displaystyle G(L/M)}$ ein Normalteiler in ${\displaystyle G(L/K)}$ ist; die Galoisgruppe ${\displaystyle G(M/K)}$ ist kanonisch isomorph zum Quotienten ${\displaystyle G(L/K)/G(L/M)}$.

Es sei ${\displaystyle K}$ ein Körper und ${\displaystyle K^{\mathrm {sep} }}$ ein separabler Abschluss von ${\displaystyle K}$. Weiter sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum (über irgendeinem Körper). Versieht man ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ mit der diskreten Topologie, so sind Darstellungen von ${\displaystyle G(K^{\mathrm {sep} }/K)}$ auf ${\displaystyle V}$ genau dann stetig, wenn sie über einen endlichen Quotienten ${\displaystyle G(M/K)}$ für eine endliche Erweiterung ${\displaystyle M/K}$ faktorisieren. Die Kategorie der stetigen Darstellungen von ${\displaystyle G(K^{\mathrm {sep} }/K)}$ ist also in diesem Sinne die Vereinigung aller Kategorien von Darstellungen der Gruppen ${\displaystyle G(M/K)}$ für endliche Erweiterungen ${\displaystyle M/K}$.

Es sei ${\displaystyle L/K}$ eine beliebige Körpererweiterung. Die Krulltopologie auf der Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K)}$ der Körperautomorphismen von ${\displaystyle L}$, die ${\displaystyle K}$ elementweise festlassen, ist diejenige Topologie, für die die Untergruppen

${\displaystyle G(S)=\{\sigma \in \operatorname {Aut} (L/K)\mid \sigma s=s\ \mathrm {f{\ddot {u}}r\ alle} \ s\in S\}}$

für endliche Teilmengen ${\displaystyle S\subseteq L}$ eine Umgebungsbasis des Einselementes bilden. ${\displaystyle \operatorname {Aut} (L/K)}$ wird mit dieser Topologie zu einer topologischen Gruppe.

1. Ina Kersten: Brauergruppen. Universitätsdrucke Göttingen, 2007, ISBN 978-3-938616-89-5, §15.2 (Online [abgerufen am 26. Januar 2017]).