Kriterium von Mackey

Zwei Darstellungen ${\displaystyle V_{1}}$ und ${\displaystyle V_{2}}$ einer endlichen Gruppe ${\displaystyle G}$ heißen disjunkt, falls sie keine irreduzible Komponente gemeinsam haben, d. h., falls ${\displaystyle \langle V_{1},V_{2}\rangle =0}$ für das Skalarprodukt von Charakteren.

Sei ${\displaystyle G}$ eine Gruppe und sei ${\displaystyle H}$ eine Untergruppe. Definiere ${\displaystyle H_{s}=sHs^{-1}\cap H}$ für ${\displaystyle s\in G.}$
Sei ${\displaystyle (\rho ,W)}$ eine Darstellung der Untergruppe ${\displaystyle H.}$ Diese definiert durch Einschränkung eine Darstellung ${\displaystyle {\text{Res}}_{H_{s}}(\rho )}$ von ${\displaystyle H_{s}.}$ Wir schreiben ${\displaystyle {\text{Res}}_{s}(\rho )}$ für ${\displaystyle {\text{Res}}_{H_{s}}(\rho ).}$ Außerdem definiert ${\displaystyle \rho ^{s}}$ eine weitere Darstellung von ${\displaystyle H_{s}}$ definiert durch ${\displaystyle \rho ^{s}(t)=\rho (s^{-1}ts).}$ Diese beiden Darstellungen sollten nicht verwechselt werden.

Weiterhin bezeichnen wir mit ${\displaystyle Ind_{H}^{G}(W)}$ oder ${\displaystyle Ind_{H}^{G}(\rho )}$ die von der Darstellung ${\displaystyle \rho \colon H\to GL(W)}$ induzierte Darstellung von ${\displaystyle G}$.

Die induzierte Darstellung ${\displaystyle V={\text{Ind}}_{H}^{G}(W)}$ ist genau dann irreduzibel, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• ${\displaystyle W}$ ist irreduzibel.
• Für jedes ${\displaystyle s\in G\setminus H}$ sind die zwei Darstellungen ${\displaystyle \rho ^{s}}$ und ${\displaystyle {\text{Res}}_{s}(\rho )}$ von ${\displaystyle H_{s}}$ disjunkt.

Ein Beweis dieses Satzes findet sich in [1].

Aus dem Satz erhalten wir direkt folgendes

Korollar

Sei ${\displaystyle H}$ eine normale Untergruppe von ${\displaystyle G.}$ Dann ist ${\displaystyle {\text{Ind}}_{H}^{G}(\rho )}$ genau dann irreduzibel, wenn ${\displaystyle \rho }$ irreduzibel und nicht isomorph zu den Konjugaten ${\displaystyle \rho ^{s}}$ für ${\displaystyle s\notin H}$ ist.

Beweis

Ist ${\displaystyle H}$ normal, so gilt ${\displaystyle H_{s}=H}$ und ${\displaystyle {\text{Res}}_{s}(\rho )=\rho }$ und damit folgt die Aussage direkt aus dem Kriterium von Mackey.${\displaystyle \Box }$

1. Jean-Pierre Serre: Linear Representations of Finite Groups. Springer Verlag, New York 1977.