Kreistangente

Tangente eines Kreises ist jede in der gleichen Ebene verlaufende Gerade, die mit dem Kreis genau einen Punkt gemeinsam hat.

Die in der Kreisebene verlaufenden Geraden lassen sich einteilen in Sekanten, Tangenten und Passanten. Die Tangenten stellen dabei in gewisser Weise den Grenzfall dar zwischen Sekanten und Passanten.

Eine Grundeigenschaft der Tangente ist es, dass sie orthogonal (im rechten Winkel) zu ihrem Berührungsradius verläuft, also zur Verbindungslinie zwischen dem Berührpunkt und dem Kreismittelpunkt. Umgekehrt ist jede Gerade, die im Endpunkt eines Radius senkrecht auf diesem steht, auch eine Tangente des Kreises. Dies hängt damit zusammen, dass die Gerade, zu der der Radius gehört (wie jede Gerade durch den Mittelpunkt) Symmetrieachse des Kreises ist.

Kreistangente

Tangentenabschnitte von einem Punkt an den Kreis sind gleich lang.

Beweis:

Nach dem Satz des Pythagoras gilt

(1.1) $MP^{2}=AP^{2}+r^{2}$

(1.2) $MP^{2}=BP^{2}+r^{2}$

(2.1) $AP^{2}=BP^{2}$

(2.2) $AP=BP$

Konstruktion der Tangente

Für eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal reicht es keinesfalls aus, nach Augenmaß eine Gerade zu finden, die den Kreis k „gerade noch“ berührt.

Wenn der Berührpunkt gegeben ist (oder beliebig gewählt werden darf), so ist zuerst der Berührungsradius einzuzeichnen und dann das Lot dazu im Berührpunkt.

Wenn ein Punkt P außerhalb des Kreises gegeben ist, durch den die Tangente gehen soll, so muss zunächst der Berührpunkt gefunden werden. Da hierbei ein rechter Winkel entstehen muss, hilft der Satz des Thales:
Man verbindet den Punkt P mit dem Kreismittelpunkt M und zeichnet über der Strecke [PM] den Thaleskreis. Dieser schneidet den Kreis k in zwei Punkten, die als Berührpunkte geeignet sind. Man erhält also durch den Punkt P zwei mögliche Kreistangenten. Die durch die beiden Berührpunkte bestimmte Gerade heißt Polare des Punktes P bezüglich des Kreises k.

Eine Alternative zur Konstruktion mit Hilfe des Thaleskreises ist die Konstruktion direkt über die zum Punkt P gehörende Polare. Hierzu zeichnet man zwei vom P ausgehende beliebige Sekanten und teilt dann die von ihnen erzeugten Sehnen harmonisch, wobei der Punkt P jeweils der äußere Teilungspunkt der harmonischen Teilung der Sehne ist. Die beiden inneren Teilungspunkte der Sehnen liegen dann auf der Polaren zu P und die Polare schneidet den Kreis in den beiden Berührungspunkten der zu konstruierenden Tangenten. Den inneren Teilungspunkt der harmonischen Teilung einer Sehne kann man dabei wie folgt konstruieren. Man zeichnet eine beliebige durch P verlaufende Hilfsgerade und wählt auf dieser einen (beliebigen) von P verschiedenen Punkt X. Dann zeichnet man die Verbindungsgerade zwischen X und dem hinteren Endpunkt B der Sehne und anschließend eine Parallele zu dieser Geraden durch den vorderen Endpunkt A der Sehne. Diese Parallele schneidet die ursprüngliche Hilfsgerade in einen Punkt Y und man trägt nun auf der anderen Seite von A eine Strecke der Länge |AY| ab und verbindet deren Endpunkt Z mit X. Die Strecke ZX schneidet dann die Sehne AB im Punkt Q, welcher der innere Teilungspunkts der harmonischen Teilung von AB ist. Das heißt, P und Q teilen die Sehne AB harmonisch und Q liegt auf der zu P gehörenden Polaren. Diese Konstruktion mit Hilfe der Polaren lässt sich auch auf anderen Kegelschnitten anwenden, das heißt, man kann auf die Weise auch Tangenten an Ellipse, Parabeln und Hyperbeln konstruieren.

Innere Tangenten

Innere Tangenten an zwei Kreise

Begriffliche Erläuterung

Gegeben seien zwei Kreise, die keine gemeinsamen Punkte haben und nicht ineinander liegen. Eine gemeinsame Tangente beider Kreise, welche die Verbindungsstrecke ihrer Mittelpunkte schneidet, heißt innere Tangente.

Eigenschaften innerer Tangenten am Beispiel dreier Kreise

Paarweise innere Tangenten bei drei Kreisen (rechts Beweisfigur)

Gegeben seien drei Kreise, die keine gemeinsamen Punkte haben und nicht ineinander liegen. Verbindet man die Schnittpunkte der inneren Tangenten eines jeden Kreispaares mit dem Mittelpunkt des dritten Kreises, dann schneiden sich die drei Verbindungslinien in einem Punkt.

Beweis:

Die aus den Kreisen um A und B und ihren inneren Tangenten bestehende Figur ist achsensymmetrisch zu der Geraden durch ihre Mittelpunkte. Deshalb sind die beiden farbig markierten Dreiecke ähnlich. Somit gilt:

{\frac {\overline {AD}}{\overline {DB}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}

und analog:

{\frac {\overline {BE}}{\overline {EC}}}={\frac {r_{2}}{r_{3}}}

{\frac {\overline {CF}}{\overline {FA}}}={\frac {r_{3}}{r_{1}}}

Daraus folgt:

{\frac {\overline {AD}}{\overline {DB}}}\cdot {\frac {\overline {BE}}{\overline {EC}}}\cdot {\frac {\overline {CF}}{\overline {FA}}}=1

Nach der Umkehrung des Satzes von Ceva folgt hieraus die behauptete Aussage.[1][2]

Analytische Geometrie

Ist ein Kreis $k$ mit dem Radius $r$ und dem Mittelpunkt $M(x_{M}|y_{M})$ gegeben durch die Gleichung

|{\overrightarrow {MX}}|\,=\,r\,

oder

\,(x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}\,=\,r^{2}

,

und ist der Berührpunkt $B=B(x_{B}|y_{B})\in k$ ,

so lautet die Gleichung der Tangente

{\overrightarrow {MB}}\cdot {\overrightarrow {MX}}\,=\,r^{2}

bzw. $(x_{B}-x_{M})\cdot (x-x_{M})+(y_{B}-y_{M})\cdot (y-y_{M})\,=\,r^{2}$

( $X(x,y)$ ) steht dabei für einen beliebigen Punkt der Tangente.

Siehe auch

Tangente, Tangentenviereck, Sekanten-Tangenten-Satz, Tangens

Literatur

David Fraivert: Properties of the tangents to a circle that forms Pascal points on the sides of a convex quadrilateral.. Forum Geometricorum, Band 17, 2017, S. 223–243.
Tangente In: Schülerduden – Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 443–444
Tangente In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 393–394
Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik - Band 5. Springer, 2. Auflage 2017, ISBN 978-3-662-53505-9, S. 173–176

Einzelnachweise

College Mathematics Journal, vol. 25, no. 3 (May 1994), S. 211; PWW II, S. 28
Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte. Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, S. 31.

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[1] College Mathematics Journal, vol. 25, no. 3 (May 1994), S. 211; PWW II, S. 28

[2] Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte. Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, S. 31.