Toroidspule

Betrachtet man das Magnetfeld im Inneren einer Toroidspule mit geringem Durchmesser gegenüber ihrem Radius ${\displaystyle r_{m}}$, so lässt sich dieses mittels dem Ampèreschen Gesetz herleiten. Man betrachte eine Toroidspule mit Umfang ${\displaystyle U}$, Windungszahl ${\displaystyle N}$ und Stromstärke ${\displaystyle I}$:

${\displaystyle \oint \limits _{U}{\vec {H}}\ {\text{d}}{\vec {s}}=I\ N}$

Da das H-Feld stets parallel zum Integrationsweg verläuft (Kreisform durch das Innere der Spule), ist das Skalarprodukt hier gleich dem Produkt der Beträge.

${\displaystyle \Rightarrow H\cdot U=H\cdot 2\pi r_{m}=I\ N}$

mit dem mittleren Radius ${\displaystyle r_{m}}$ der Spule.

Auflösen nach ${\displaystyle H}$ ergibt:

${\displaystyle \Rightarrow H={\frac {I\ N}{2\pi r_{m}}}}$

bzw. die magnetische Flussdichte ${\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{r}{\frac {I\ N}{2\pi r_{m}}}}$, wenn man ${\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{r}H}$ benutzt.[5][6]

Ist die Toroidspule durch einen Luftspaltunterbrochen, so wird aus obigem Zusammenhang ebenfalls mit dem Ampèreschen Gesetz der Folgende:

${\displaystyle \Rightarrow H_{S}\cdot U'+H_{L}\cdot l=I\ N}$

mit

• dem Feld ${\displaystyle H_{S}}$ in der Spule der Länge ${\displaystyle U'=2\pi r_{m}-l}$
• dem Feld ${\displaystyle H_{L}}$ im Luftspalt der Länge ${\displaystyle l}$ .

Ist nun ${\displaystyle l\ll U'}$ und vernachlässigt man die Streufelder an den Enden der Spule, so kann ${\displaystyle B_{S}\approx B_{L}}$ gesetzt werden, weil sich beim Übergang zwischen Materialien die Normalkomponente des B-Feldes nicht ändert. Damit ergibt sich:

${\displaystyle H_{S}(2\pi r_{m}-l)+H_{L}\cdot l=B_{L}\left({\frac {2\pi r_{m}-l}{\mu _{0}\mu _{r}}}+{\frac {l}{\mu _{0}}}\right)=IN}$

und somit für die magnetische Flussdichte ${\displaystyle B_{L}}$ im Luftspalt:

${\displaystyle B_{L}={\frac {\mu _{0}IN}{{\frac {2\pi r_{m}-l}{\mu _{r}}}+l}}={\frac {\mu _{0}\mu _{r}IN}{2\pi r_{m}+l(\mu _{r}-1)}}}$[6]

Außerhalb der Spule kann man die Toroidspule wegen ihrer Kreisform vereinfacht als Leiterschleife mit dem Radius ${\displaystyle r_{m}}$ betrachten.

Für eine Gerade, die senkrecht zu der von der Toroidspule umlaufenen Kreisfläche steht und durch deren Mittelpunkt läuft, gilt:

${\displaystyle B(z)={\frac {\mu _{0}I}{2}}\,{\frac {r_{m}^{2}}{\left(r_{m}^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}}}$

wobei ${\displaystyle z}$ den Abstand von der ${\displaystyle Z}$-Achse beschreibt, falls die Toroidspule im Ursprung in der ${\displaystyle X}$-${\displaystyle Y}$-Ebene eines 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystems liegt.

Insbesondere gilt dann für den Mittelpunkt (also für ${\displaystyle z=0}$):

${\displaystyle B(0)={\frac {\mu _{0}I}{2r_{m}}}}$