Lie-Algebren-Kohomologie

Sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine Lie-Algebra. Auf der äußeren Algebra ${\displaystyle \Lambda {\mathfrak {g}}^{*}=\bigoplus _{k}\Lambda ^{k}{\mathfrak {g}}^{*}}$ des dualen ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraumes ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ definieren wir für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ einen Operator

${\displaystyle d^{k}:\Lambda ^{k}{\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow \Lambda ^{k+1}{\mathfrak {g}}^{*}}$ wie folgt.

Sei

${\displaystyle f\in \operatorname {Hom} (\Lambda ^{k}{\mathfrak {g}},\mathbb {R} )\cong \Lambda ^{k}{\mathfrak {g}}^{*}}$,

dann definieren wir

${\displaystyle d^{k}f\in \operatorname {Hom} (\Lambda ^{k+1}{\mathfrak {g}},\mathbb {R} )\cong \Lambda ^{k+1}{\mathfrak {g}}^{*}}$

durch

${\displaystyle d^{k}f(g_{1}\wedge \ldots \wedge g_{k+1})=\sum _{1\leq i<j\leq k+1}\left(-1\right)^{i+j-1}f(\left[g_{i},g_{j}\right]\wedge g_{1}\wedge \ldots {\hat {g_{i}}}\ldots {\hat {g_{j}}}\ldots \wedge g_{k+1})+\sum _{1\leq i\leq k}\left(-1\right)^{i}f(g_{1}\wedge \ldots {\hat {g_{i}}}\ldots \wedge g_{k+1})}$.

Der Komplex ${\displaystyle (\Lambda {\mathfrak {g}}^{*},d^{\bullet })}$ heißt Koszul-Komplex. Für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ gilt

${\displaystyle d^{k}d^{k-1}=0}$.

Die Lie-Algebren-Kohomologie von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ist definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes, also als

${\displaystyle H^{k}({\mathfrak {g}}):=\ker(d^{k})/\operatorname {im} (d^{k-1})}$.

Für eine Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$ mit Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ist der Koszul-Komplex kanonisch isomorph zum Komplex der ${\displaystyle G}$-invarianten Differentialformen auf ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle (\Lambda {\mathfrak {g}}^{*},d^{\bullet })=(\Omega ^{G}(G),d)}$,

die Lie-Algebren-Komologie von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ist also isomorph zur Kohomologie des Komplexes ${\displaystyle (\Omega ^{G}(G),d)}$.

Élie Cartan hat bewiesen, dass für kompakte Lie-Gruppen die Inklusion

${\displaystyle \Omega ^{G}(G)\subset \Omega ^{\bullet }(G)}$

einen Isomorphismus der De-Rham-Kohomologie-Gruppen induziert. Für kompakte Lie-Gruppen ${\displaystyle G}$ gilt also

${\displaystyle H_{dR}^{\bullet }(G)=H^{\bullet }({\mathfrak {g}})}$.

C. Chevalley und S. Eilenberg haben zu einer Lie-Algebren-Darstellung ${\displaystyle \pi$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {gl} (V)} die folgende Kohomologie-Konstruktion durchgeführt.[1]

Für ${\displaystyle k>0}$ sei ${\displaystyle C_{\pi }^{k}}$ der Raum der ${\displaystyle k}$-linearen, alternierenden Abbildungen ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{k}\rightarrow V}$, für k=0 sei ${\displaystyle C_{\pi }^{0}=V}$. Ferner sei ${\displaystyle \delta ^{k}:C_{\pi }^{k}\rightarrow C_{\pi }^{k+1}}$ durch

${\displaystyle (\delta ^{k}f)(g_{1}\wedge \ldots \wedge g_{k+1})=\sum _{1\leq i<j\leq k+1}\left(-1\right)^{i+j-1}f(\left[g_{i},g_{j}\right]\wedge g_{1}\wedge \ldots {\hat {g_{i}}}\ldots {\hat {g_{j}}}\ldots \wedge g_{k+1})+\sum _{1\leq i\leq k+1}\left(-1\right)^{i}\pi (g_{i})f(g_{1}\wedge \ldots {\hat {g_{i}}}\ldots \wedge g_{k+1})}$.

In der angegebenen Arbeit von C. Chevalley und S. Eilenberg wird noch durch ${\displaystyle k+1}$ dividiert, was im unten angegebenen Lehrbuch von Hilgert und Neeb nicht der Fall ist. Man zeigt ${\displaystyle \delta ^{k}\circ \delta ^{k+1}=0}$, das heißt, es liegt ein Kokettenkomplex vor, den man auch den Chevalley-Eilenberg-Komplex nennt. Die Elemente aus

${\displaystyle Z_{\pi }^{k}=\mathrm {ker} (\delta ^{k})}$

nennt man wie üblich k-Kozykel, diejenigen aus

${\displaystyle B_{\pi }^{k}=\mathrm {im} (\delta ^{k-1})}$

heißen k-Koränder. Damit sind die Kohomologiegruppen

${\displaystyle H_{\pi }^{k}:=Z_{\pi }^{k}/B_{\pi }^{k}}$

definiert, wobei im Falle ${\displaystyle k=0}$ der Korandoperator ${\displaystyle \delta ^{-1}}$ als 0 definiert ist. Man spricht genauer von der Chevalley-Kohomologie von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ mit Werten in ${\displaystyle V}$ bzgl. ${\displaystyle \pi }$.[2]

Elemente aus dem Chevalley-Eilenberg-Komplex treten in natürlicher Weise auf. So ist zum Beispiel durch die Formel

${\displaystyle (\rho (g)f)(h):=\pi (h)(f(g)),\quad g,h\in {\mathfrak {g}},f\in Z_{\pi }^{1}}$

eine Darstellung ${\displaystyle \rho$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {gl} (Z_{\pi }^{1})} definiert, die für weitere Untersuchungen der Lie-Algebra herangezogen werden kann. Man kann weitere Folgerungen ziehen, wenn ${\displaystyle Z_{\pi }^{1}=B_{\pi }^{1}}$ ist, das heißt, wenn die 1-te Chevalley-Kohomologie verschwindet. Daher sind die folgenden beiden sogenannten Lemmata von Whitehead von besonderem Interesse[3]:

1. Lemma von Whitehead: Ist ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist ${\displaystyle \pi$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {gl} (V)} eine endlich-dimensionale Darstellung, so ist ${\displaystyle H_{\pi }^{1}=\{0\}}$.

2. Lemma von Whitehead: Ist ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist ${\displaystyle \pi$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathrm {gl} (V)} eine endlich-dimensionale Darstellung, so ist ${\displaystyle H_{\pi }^{2}=\{0\}}$.

Folgender Satz ist eine Konsequenz aus dem 1. Lemma von Whitehead und der obigen Konstruktion von Darstellungen auf ${\displaystyle Z_{\pi }^{1}}$:

• Ist ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist ${\displaystyle 0\rightarrow U\rightarrow V\,{\xrightarrow {\varphi }}\,W\rightarrow 0}$ eine kurze exakte Sequenz von endlichdimensionalen ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-Moduln, so zerfällt diese, das heißt, es gibt einen ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-Modul-Morphismus ${\displaystyle \psi :W\rightarrow V}$ mit ${\displaystyle \varphi \circ \psi =\mathrm {id} _{W}}$.

Dieser Satz kann als wesentlicher Schritt im Beweis des Satzes von Weyl angesehen werden.[4]

Das 2. Lemma von Whitehead ist ein wichtiger Baustein zum Satz von Levi.[5]

• C. Chevalley, S. Eilenberg: Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1948), 85–124.
• J. L. Koszul: Homologie et cohomologie des algèbres de Lie. Bull. Soc. Math. France, 78 (1950) pp. 65–127
• Gerhard Hochschild, Jean-Pierre Serre: Cohomology of Lie algebras. Ann. of Math. (2) 57, (1953). 591–603. JSTOR:1969740
• J. C. Jantzen, Representations of Algebraic groups, Pure and Applied Mathematics, vol. 131, Boston, etc., 1987 (Academic).
• J. C. Jantzen: Restricted Lie algebra cohomology. Lecture Notes in Math. 1271 (1986), 91–108.
• Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Kapitel II.5: Lie-Algebra-Kohomologie
• A. W. Knapp, Lie groups, Lie algebras and cohomology, Mathematical Notes, Princeton University Press, 1988, 509 pp.

1. C. Chevalley, S. Eilenberg: Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1948), Kapitel IV: Cohomology Groups associated with a representation
2. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Definition II.5.3
3. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.5.12, II.5.14
4. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.4.16, II.5.5, II.5.12
5. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.4.8, II.5.7, II.5.14