Sekans und Kosekans

${\displaystyle -\infty <f(x)\leq -1\quad$ ;\quad 1\leq f(x)<+\infty }

Periodenlänge ${\displaystyle 2\cdot \pi \,:\,f(x+2\pi )=f(x)}$

Beide Funktionen haben keine Nullstellen.

Beide Funktionen haben keine horizontalen Asymptoten.

Beide Funktionen haben Sprungstellen.

Beide Funktionen haben keine Wendepunkte.

Da Sekans und Kosekans periodische Funktionen mit der Periode ${\displaystyle 2\pi }$ (entspricht im Gradmaß ${\displaystyle 360^{\circ }}$) sind, reicht es, die Funktionswerte des Sekans für den Bereich ${\displaystyle 0\leq x\leq 2\pi \,;\quad x\neq {\frac {\pi }{2}},x\neq {\frac {3\pi }{2}}}$ und die des Kosekans für den Bereich ${\displaystyle 0\leq x\leq 2\pi \,;\quad x\neq 0,x\neq \pi ,x\neq 2\pi }$ zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang

${\displaystyle \sec(x)=\sec(x+2k\pi )\quad {\text{und}}\quad \csc(x)=\csc(x+2k\pi )}$

bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog

${\displaystyle \sec(x)=\sec(x+k\cdot 360^{\circ })\quad {\text{und}}\quad \csc(x)=\csc(x+k\cdot 360^{\circ })\,.}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ eine ganze Zahl. Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen in einer leicht zu merkenden Reihe auf.[2]

Winkel (Grad)	Bogenmaß	Sekans	Kosekans
${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {4}}}=1}$	${\displaystyle -}$
${\displaystyle 30^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {1}}}=2}$
${\displaystyle 45^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}}$
${\displaystyle 60^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {1}}}=2}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}$
${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {4}}=1}$

Weitere wichtige Werte sind:

Winkel (Grad)	Bogenmaß	Sekans	Kosekans
${\displaystyle 15^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$
${\displaystyle 18^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{10}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle 1+{\sqrt {5}}}$
${\displaystyle 36^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{5}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}-1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}}$
${\displaystyle 54^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{10}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {5}}-1}$
${\displaystyle 72^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{5}}}$	${\displaystyle 1+{\sqrt {5}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}{\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}}$
${\displaystyle 75^{\circ }}$	${\displaystyle {\tfrac {5\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$
${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -}$
${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle 360^{\circ }}$	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -}$

Beweisskizzen:

• ${\displaystyle \sec(45^{\circ })=\csc(45^{\circ })={\sqrt {2}}}$, weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) dann gleichschenklig ist, und nach Pythagoras gilt ${\displaystyle 1^{2}+1^{2}=x^{2}\Rightarrow x={\sqrt {2}}}$.
• ${\displaystyle \sec(60^{\circ })=\csc(30^{\circ })=2}$, weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) gespiegelt an der ${\displaystyle x}$-Achse dann gleichseitig ist (mit Seitenlänge 1), und somit die Seitenlänge die doppelte Länge der Gegenkathete ist.
• ${\displaystyle \sec(30^{\circ })=\csc(60^{\circ })={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}}$, weil für das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) wegen ${\displaystyle \sin(30^{\circ })={\tfrac {1}{2}}}$ für den Sekans nach Pythagoras gilt ${\displaystyle ({\tfrac {1}{x}})^{2}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=1^{2}\ \Rightarrow \ {\tfrac {1}{x^{2}}}={\tfrac {3}{4}}\ \Rightarrow \ x^{2}={\tfrac {4}{3}}\ \Rightarrow \ x={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {3}}}$.
• ${\displaystyle \sec(72^{\circ })=\csc(18^{\circ })={\frac {1}{{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)}}=1+{\sqrt {5}}}$, weil im Pentagramm das Inverse des Goldenen Schnitts auftritt, wobei der halbierte Winkel in den Spitzen gleich 18° ist.
• ${\displaystyle \sec(36^{\circ })=\csc(54^{\circ })={\frac {1}{{\tfrac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}})}}={\sqrt {5}}-1}$, weil im regelmäßigen Fünfeck der Goldene Schnitt auftritt, wobei der halbierte Innenwinkel gleich 54° ist.
• ${\displaystyle \sec(75^{\circ })=\csc(15^{\circ })}$ und ${\displaystyle \sec(15^{\circ })=\csc(75^{\circ })}$ lassen sich mit Hilfe der Halbwinkelformeln für Sinus und Kosinus herleiten.

Siehe auch: Sinus und Kosinus: Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte

Weil der Sekans jeweils der Kehrwert des Kosinus und der Kosekans der Kehrwert des Sinus ist, lassen sich die Funktionswerte ${\displaystyle \sec(x)}$ und ${\displaystyle \sec(x)}$ genau dann mit Quadratwurzeln darstellen, wenn das auch für ${\displaystyle \sin(x)}$ und ${\displaystyle \cos(x)}$ möglich ist. Generell gilt, dass ${\displaystyle \csc \alpha \;}$ und ${\displaystyle \sec \alpha \;}$ genau dann explizit mit den vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar sind, wenn der Winkel ${\displaystyle \alpha \;}$ mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, insbesondere also wenn ${\displaystyle \alpha \;}$ von der Gestalt

${\displaystyle \alpha =k{\frac {360^{\circ }}{2^{n}p_{1}\dots p_{r}}}}$

ist, wobei ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} \;}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}\;}$ und die ${\displaystyle p_{i}\;}$ für ${\displaystyle i=1,\dots ,r\;}$ Fermatsche Primzahlen sind.[3]

Sekans:

${\displaystyle \sec(x)=4\pi \,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k+1)}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}-4x^{2}}}}$

Kosekans:

${\displaystyle \csc(x)={\frac {1}{x}}-2x\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}\pi ^{2}-x^{2}}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,x}{x^{2}-k^{2}\pi ^{2}}}}$

Mit Hilfe der Fakultätsfunktion beziehungsweise der Gaußschen Pifunktion können Sekans und Kosekans wie folgt dargestellt werden:

Sekans:

${\displaystyle \sec(\pi \,x)={\frac {4\,\Pi ({\tfrac {1}{2}}-x)\,\Pi ({\tfrac {1}{2}}+x)}{\pi \,(1-2\,x)\,(1+2\,x)}}}$

Kosekans:

${\displaystyle \csc(\pi \,x)={\frac {\Pi (x)\,\Pi (1-x)}{\pi \,x\,(1-x)}}}$

Die Fakultätsfunktion entspricht der Eulerschen Gammafunktion von der Nachfolgerfunktion und kann demnach für alle reellen Zahlen ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ so definiert werden:

${\displaystyle x!=\Pi (x)=\Gamma (x+1)=\exp(-\,\gamma \,x)\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}\exp \left({\frac {x}{n}}\right)\right]}$

Die nun gezeigte Produktreihe wird Weierstraßsches Produkt genannt und dient der Ermittlung von Sekans und Kosekans mittels Produktentwicklungen.

Mit dem griechischen Buchstaben ${\displaystyle \gamma }$ wird die Euler-Mascheroni-Konstante dargestellt.