Korowkin-Approximation

Im folgenden Satz sei ${\displaystyle C[a,b]}$ der Raum der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall ${\displaystyle [a,b]}$. Ferner stehe ${\displaystyle x^{k}}$ für die Einschränkung der Funktion ${\displaystyle x\mapsto x^{k}}$ auf ${\displaystyle [a,b]}$. Für ${\displaystyle k=0}$ ist das die konstante Funktion mit dem Wert 1, für ${\displaystyle k=1}$ erhält man die identische Funktion ${\displaystyle id_{[a,b]}}$, für ${\displaystyle k=2}$ hat man die Einschränkung der Quadratfunktion auf ${\displaystyle [a,b]}$. Der Satz von Korowkin lautet wie folgt:

Ist ${\displaystyle (P_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}}$ eine Folge von positiven linearen Operatoren ${\displaystyle C[a,b]\rightarrow C[a,b]}$ und ist ${\displaystyle P_{n}(x^{k})\,{\stackrel {n}{\rightarrow }}\,x^{k}}$ gleichmäßig auf ${\displaystyle [a,b]}$ für ${\displaystyle k=0,1,2}$, so ist ${\displaystyle P_{n}(f)\,{\stackrel {n}{\rightarrow }}\,f}$ gleichmäßig auf ${\displaystyle [a,b]}$ für alle ${\displaystyle f\in C[a,b]}$.

Fasst man die Folge ${\displaystyle (P_{n})_{n}}$ als ein Approximationsverfahren auf, so muss man die Konvergenz des Verfahrens im Sinne obigen Satzes nur für die drei Funktionen ${\displaystyle x^{k},\,k=0,1,2}$, nachweisen. Es folgt dann die Konvergenz des Verfahrens für alle Funktionen.

Zur Verdeutlichung soll hier die wohl bekannteste Anwendung wiedergegeben werden, eine Herleitung des weierstraßschen Approximationssatzes: Für ${\displaystyle f\in C[0,1]}$ sei ${\displaystyle B_{n}(f)}$ das ${\displaystyle n}$-te Bernsteinpolynom von ${\displaystyle f}$, d. h.

${\displaystyle B_{n}(f)(t)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}f\left({\frac {i}{n}}\right)\,t^{i}(1-t)^{n-i},\,\,t\in [0,1]}$.

Dann ist ${\displaystyle (B_{n})_{n}}$ eine Folge positiver linearer Operatoren. Die Konvergenz ${\displaystyle B_{n}(x^{k})\,{\stackrel {n}{\rightarrow }}\,x^{k}}$ für ${\displaystyle k=0,1,2}$ kann durch sehr elementare Umformungen an den auftretenden Summen gezeigt werden. Der Satz von Korowkin liefert dann, dass ${\displaystyle B_{n}(f)\,{\stackrel {n}{\rightarrow }}\,f}$ für alle stetigen Funktionen ${\displaystyle f}$ gleichmäßig auf ${\displaystyle [0,1]}$. Das bedeutet also, dass jede stetige Funktion auf [0,1] gleichmäßig durch Polynome approximiert werden kann, d. h., man erhält so eine komfortable Herleitung des weierstraßschen Approximationssatzes. Diese Argumentation lässt sich leicht auf das allgemeinere Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ ausdehnen.

Die Erweiterungen des Satzes von Korowkin auf allgemeinere Situationen bilden die sogenannte Korowkin-Approximationstheorie, die sich auf funktionalanalytische Methoden stützt. Man geht darin der folgenden Frage nach: In welchen Situationen kann man auf Konvergenzaussagen der Form ${\displaystyle P_{n}(f)\,{\stackrel {n}{\rightarrow }}\,f}$ schließen, indem man die Konvergenz für nur endlich viele der Funktionen ${\displaystyle f}$ nachweisen muss?

Dabei kann man den Raum ${\displaystyle C[a,b]}$ einmal als Prototyp einer Banachalgebra ansehen und in diesem Kontext zu allgemeineren Konvergenzaussagen kommen, oder man versucht ${\displaystyle C[a,b]}$ durch allgemeinere geordnete Vektorräume zu ersetzen. So gilt z. B. folgender Satz in L^p-Räumen, ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$:

Ist ${\displaystyle (P_{n})_{n}}$ eine Folge positiver linearer Operatoren ${\displaystyle L^{p}[1,\infty )\rightarrow L^{p}[1,\infty )}$ und gilt ${\displaystyle \|P_{n}(f)-f\|_{p}\,{\stackrel {n}{\rightarrow }}\,0}$ für alle ${\displaystyle f\in \{x^{-\lambda _{1}},x^{-\lambda _{2}},x^{-\lambda _{3}}\}}$, wobei ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{p}}<\lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}}$, so folgt bereits ${\displaystyle \|P_{n}(f)-f\|_{p}\,{\stackrel {n}{\rightarrow }}\,0}$ für alle ${\displaystyle f\in L^{p}[1,\infty )}$.

In den bisher betrachteten Beispielen hatte man Konvergenzaussagen der Art ${\displaystyle P_{n}(f)\rightarrow f}$ für alle ${\displaystyle f}$ aus einem geeigneten Raum ${\displaystyle X}$, d. h. ${\displaystyle P_{n}\rightarrow \mathrm {id} _{X}}$ punktweise auf ${\displaystyle X}$. Weitere Verallgemeinerungen erhält man, wenn man den id-Operator durch andere Operatoren ersetzt, also Konvergenzaussagen der Art ${\displaystyle P_{n}\rightarrow S}$ punktweise untersucht. Schließlich kann man von den Operatoren ${\displaystyle X\rightarrow X}$ auf Operatoren von ${\displaystyle X}$ in andere Räume verallgemeinern, z. B. auf Funktionale ${\displaystyle X\rightarrow {\mathbb {R} }}$. Einen guten Überblick liefert das unten angegebene Buch von Altomare und Campiti.

• P. P. Korovkin: Über die Konvergenz positiver linearer Operatoren im Raum stetiger Funktionen. Dokl. Akad. Nauk. SSSR, Band 90, 1953, Seiten 961–964 (russisch).
• F. Altomare, M. Campiti: Korovkin-type Approximation Theory and its Applications. de Gruyter Studies in Mathematics, Band 17, 1994, ISBN 978-3-11-014178-8.