Koordinatensystem

Das einfachste Beispiel eines Koordinatensystems ist die Identifikation von Punkten auf einer Gerade mit der reellen Zahlengerade. In diesem System wird ein beliebiger Punkt O (der Ursprung) auf einer gegebenen Geraden gewählt. Die Koordinate eines Punktes P ist definiert als der vorzeichenbehaftete Abstand von O zu P, wobei der vorzeichenbehaftete Abstand als positiv oder negativ angenommen wird, je nachdem, auf welcher Seite der Linie P liegt. Jeder Punkt erhält eine eindeutige Koordinate und jede reelle Zahl ist die Koordinate eines eindeutigen Punktes.[2]

Die Zahlenlinie

Das kartesische Koordinatensystem im dreidimensionalen Raum

Links- und rechtshändiges (rechts) dreidimensionales Koordinatensystem

Eines der bekanntesten Beispiele für ein Koordinatensystem ist das kartesische Koordinatensystem. In der Ebene werden zwei Senkrechte gewählt und die Koordinaten eines Punktes als die vorzeichenbehafteten Abstände zu den Geraden aufgefasst. In drei Dimensionen wählt man drei zueinander orthogonale Ebenen und die drei Koordinaten eines Punktes sind die vorzeichenbehafteten Abstände zu jeder der Ebenen. Dies kann verallgemeinert werden, um n-Koordinaten für jeden Punkt im n-dimensionalen euklidischen Raum zu erzeugen.

Es ist nach dem latinisierten Namen Cartesius des französischen Mathematikers René Descartes benannt, der das Konzept der „kartesischen Koordinaten“ bekannt gemacht hat.[3] Je nach Anordnung der Koordinatenachsen kann das dreidimensionale Koordinatensystem ein Rechts- oder ein Linkssystem sein.

Affine Koordinaten

Wählt man in der euklidischen Ebene drei nicht auf einer Gerade liegende Punkte ${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$ aus, so sind die beiden Vektoren ${\displaystyle {\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},{\overrightarrow {P_{0}P_{2}}}}$ linear unabhängig. Mit dem Punkt ${\displaystyle P_{0}}$ als Ursprung lässt sich der Ortsvektor ${\displaystyle {\overrightarrow {P_{0}P}}}$ eines beliebigen Punktes ${\displaystyle P}$ so schreiben:

${\displaystyle {\overrightarrow {P_{0}P}}=u{\overrightarrow {P_{0}P_{1}}}+v{\overrightarrow {P_{0}P_{2}}}}$

und dem Punkt ${\displaystyle P}$ das Zahlenpaar ${\displaystyle (u,v)_{a}}$ als affine Koordinaten[4] bezüglich den Basispunkten ${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$ zuordnen.

Bilden die Vektoren ${\displaystyle {\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},{\overrightarrow {P_{0}P_{2}}}}$ eine Orthonormalbasis, so ergeben sich die zuvor genannten kartesischen Koordinaten. In diesem Fall sind für einen Punkt ${\displaystyle (u_{0},v_{0})_{a}}$ die Punktmengen ${\displaystyle u=u_{0}}$ und ${\displaystyle v=v_{0}}$ Geraden, die sich orthogonal schneiden. Sind die Basisvektoren nicht orthogonal (siehe Bild), spricht man von schiefwinkligen Koordinaten.

Entsprechend sind affine Koordinaten für höhere Dimensionen erklärt. Koordinaten auf diese Weise zu definieren ist für jeden n-dimensionalen affinen Raum über einem Körper möglich, ist also nicht auf einen euklidischen Raum beschränkt.

Polarkoordinaten

Ein weiteres häufig genutztes Koordinatensystem ist das der Polarkoordinaten. Dieses kann nur in der Ebene eingeführt werden. Für den dreidimensionalen Raum gibt es mit den Kugel- und den Zylinderkoordinaten zwei unterschiedliche Verallgemeinerungen. Im Gegensatz zu den zuvor genannten Systemen sind dieses Koordinatensystem und seine zwei Verallgemeinerungen keine Spezialfälle affiner Koordinatensysteme.

Für die Definition dieses Koordinatensystems wird ein Punkt als Pol und ein Strahl von diesem Punkt als Polachse gewählt. Für einen gegebenen Winkel ${\displaystyle \phi }$ gibt es eine einzige Linie durch den Pol, deren Winkel mit der Polachse ${\displaystyle \phi }$ ist (gemessen gegen den Uhrzeigersinn von der Achse zur Linie). Dann gibt es einen einzigen Punkt auf dieser Linie, dessen Abstand vom Ursprung den Wert ${\displaystyle r}$ ist. Für ein gegebenes Koordinatenpaar ${\displaystyle (r,\phi )}$ gibt es einen einzigen Punkt, aber jeder Punkt wird durch viele Koordinatenpaare dargestellt. Zum Beispiel sind ${\displaystyle (r,\phi )}$ und ${\displaystyle (r,\phi +2\pi )}$ Polarkoordinaten für denselben Punkt. Der Pol wird durch ${\displaystyle (0,\phi )}$ für einen beliebigen Wert von ${\displaystyle \phi }$ dargestellt.

Zylinderkoordinaten

Kugelkoordinaten

Es gibt zwei übliche Methoden zur Erweiterung der Polarkoordinaten für den dreidimensionalen Raum.

Bei zylindrischen Koordinatensystem wird eine z-Koordinate mit der gleichen Bedeutung wie bei kartesischen Koordinaten zu den Polarkoordinaten ${\displaystyle (r,\phi )}$ hinzugefügt, was ein Tripel ${\displaystyle (r,\phi ,z)}$ ergibt.

Bei Kugelkoordinaten oder räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und durch zwei Winkel angegeben. Ein bekanntes Beispiel eines Kugelkoordinatensystems ist das System der Geographischen Koordinaten mit deren Hilfe die Erde in Längen- und Breitengrade unterteilt wird. Die dritte Koordinate also der Abstand vom Erdmittelpunkt ist bei diesem System nicht relevant.

Elliptische Koordinaten verwenden sich senkrecht schneidende Systeme von konfokalen Ellipsen und Hyperbeln. Diese Koordinaten sind für die Brennpunkte und die Punkte dazwischen nicht definiert.

Den (ebenen) elliptischen Koordinaten entsprechen die Ellipsoid-Koordinaten. Das hier verwendete orthogonale Flächensystem besteht aus konfokalen Ellipsoiden, einschaligen und zweischaligen Hyperboloiden.

Weiterhin gibt es noch die ellipsoidische Koordinaten, die zur Beschreibung von Punkten eines Rotations-Ellipsoids (Erde) verwendet werden.