Konzentration des Maßes

Die isoperimetrische Ungleichung auf der Sphäre stammt von Lévy.[2]

Wir betrachten den Raum ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\|\cdot \|,\mu )}$ wobei ${\displaystyle \|\cdot \|}$ die euklidische Norm und ${\displaystyle \mu }$ das sphärische Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bezeichnet. Dieses ist normiert und rotations-invariant auf ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|=1\}}$, das bedeutet ${\displaystyle \mu (\mathbb {S} ^{n-1})=1}$ und für ein ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {S} ^{n-1}}$ und eine Rotation ${\displaystyle T}$ gilt ${\displaystyle \mu (TA)=\mu (A)}$.

Sei nun ${\displaystyle A\subset \mathbb {S} ^{n-1}}$, definiere die geodäsische Distanz ${\displaystyle \operatorname {d} (x,A)=\inf \limits _{y\in A}\operatorname {d} (x,y)}$ und mit ${\displaystyle A_{\delta }}$ bezeichnen wir das ${\displaystyle \delta }$-Verfetten der Menge ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A_{\delta }:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\operatorname {d} (x,A)<\delta \}}$.

Mit ${\displaystyle B}$ bezeichnen wir das Kugelsegment ${\displaystyle B:=\left\{x\in \mathbb {S} ^{n-1}|\operatorname {d} (x,x_{0})\leq p\right\}}$ um einen Punkt ${\displaystyle x_{0}}$ für ein passendes ${\displaystyle p}$, so dass ${\displaystyle \mu (A)=\mu (B)}$. Dann gilt für ${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle \mu (A_{t})\geq \mu (B_{t})}$.

Nehme nun an, dass ${\displaystyle \mu (A)=1/2}$ dann gilt

${\displaystyle \mu (A_{t})\geq \mu (B_{t})=1-\int _{t}^{\tfrac {\pi }{2}}\cdots \mathrm {d} \theta \geq 1-{\tfrac {1}{2}}e^{-(n-1){\tfrac {t^{2}}{2}}}=1-Ce^{-c(n-1)t^{2}}}$

und somit verkleinert sich das Maß der Komplementärmenge ${\displaystyle A_{t}^{c}}$ exponentiell bei Wachstum des ${\displaystyle t}$, sobald ${\displaystyle \mu (A)=1/2}$ erreicht hat

${\displaystyle \mu (A_{t}^{c})\leq Ce^{-c(n-1)t^{2}}}$.

Es kommt zur Konzentration des Maßes auf der Sphäre.

Vitali Milman nützte dieses Resultat in seinem Beweis des Satzes von Dvoretzky.

Sei ${\displaystyle (M_{n},d_{n},\mu _{n})}$ ein Familie metrischer Wahrscheinlichkeitsräume. Definiere die Konzentrationsraten

${\displaystyle \alpha _{n}(t):=\sup \limits _{A\subset M_{n}:\mu _{n}(A)\geq 1/2}\mu _{n}(d_{n}(M_{n},A)\geq t)=\sup \limits _{A\subset M_{n}:\mu _{n}(A)\geq 1/2}\mu _{n}(A_{t}^{c})}$

wobei ${\displaystyle A_{t}}$ das ${\displaystyle t}$-Verfetten bezeichnet.

Dann wird ${\displaystyle (M_{n},d_{n},\mu _{n})}$ Lévy-Familie genannt, falls ${\displaystyle \forall t>0}$

${\displaystyle \alpha _{n}(t)\to 0\ {\text{wenn }}n\to \infty }$

und normale Lévy-Familie, falls ${\displaystyle \forall t>0}$ und ${\displaystyle n\geq 1}$ (oder ${\displaystyle n}$ groß genug)

${\displaystyle \alpha _{n}(t)\leq Ce^{-cnt^{2}}}$

für zwei Konstanten ${\displaystyle c,C>0}$.

1. Michel Ledoux: The Concentration of Measure Phenomenon. American Mathematical Society, 2001, ISBN 978-0-8218-2864-9.
2. Stephane Boucheron, Gabor Lugosi, Pascal Massart: Concentration Inequalities: A Nonasymptotic Theory of Independence. Oxford University Press, USA 2013, ISBN 978-0-19-953525-5.