Konvexer Körper

Eine Teilmenge ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ des ${\displaystyle n}$-dimensionalen euklidischen Raums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ heißt konvexer Körper, wenn sie konvex, beschränkt und abgeschlossen ist und wenn ihr Inneres nicht leer ist. Die Konvexität besagt dabei, dass alle Punkte der Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ des Körpers ebenfalls Teil des Körpers sind, das heißt, es gilt

${\displaystyle x,y\in K\Rightarrow \lambda x+(1-\lambda )y\in K}$

für alle ${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1}$. Die anderen drei Bedingungen stellen dann sicher, dass ein konvexer Körper nur eine endliche Ausdehnung besitzt, seine Oberfläche mit einschließt und nicht vollständig in einer Hyperebene enthalten ist.

Ein konvexer Körper wird symmetrisch genannt, wenn für jeden Punkt ${\displaystyle x}$ des Körpers auch sein am Ursprung gespiegelter Punkt ${\displaystyle -x}$ in dem Körper liegt, also

${\displaystyle x\in K\Rightarrow -x\in K}$

gilt. Ein symmetrischer konvexer Körper ist damit zentralsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Zu den bekanntesten konvexen Körpern gehören die konvexen Polyeder, beispielsweise die regulären Polyeder im dreidimensionalen Raum, von denen es fünf Arten gibt:

• die platonischen Körper,
• die archimedischen Körper,
• die catalanischen Körper,
• die Johnson-Körper und
• die Prismen und Antiprismen.

Weitere Beispiele für symmetrische konvexe Körper können durch Normen abgeleitet werden, zum Beispiel

• die Einheitskugel ${\displaystyle K=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \|x\|_{2}\leq 1\}}$,
• der Einheitshyperwürfel ${\displaystyle K=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \|x\|_{\infty }\leq 1\}}$ und
• das Einheitskreuzpolytop ${\displaystyle K=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \|x\|_{1}\leq 1\}}$,

wobei ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ die p-Norm ist. Allgemein besteht sogar eine Bijektion zwischen der Menge der symmetrischen konvexen Körper und der Menge der Normkugeln im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (siehe Minkowski-Funktional).

• Minkowskischer Gitterpunktsatz

• Jürgen Wolfart: Einführung in die Zahlentheorie und Algebra. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-9833-3, S. 235–236.

1. I. M. Jaglom, W. G. Boltjanski: Konvexe Figuren. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1956, S. 12.