Konvergenzbeschleunigung

Eine Folge[3]

${\displaystyle T=\{t_{n}\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$

mit dem Grenzwert ${\displaystyle s}$ konvergiert schneller als eine andere Folge

${\displaystyle S=\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$

mit demselben Grenzwert, falls der Grenzwert

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\|t_{n}-s\|}{\|s_{n}-s\|}}}$

existiert und gleich Null ist. Erhält man ${\displaystyle T}$ aus einer konvergenten Folge ${\displaystyle S}$ durch eine Folgentransformation der Gestalt

${\displaystyle T=F(S)}$,

so spricht man von Konvergenzbeschleunigung.

Die Folge ${\displaystyle \textstyle a_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}}$ konvergiert mit der Konvergenzordnung wie ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ gegen ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{2}}{6}}}$. Es gilt die asymptotische Entwicklung[4][5]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}-{\frac {1}{6n^{3}}}+{\frac {1}{30n^{5}}}-{\frac {1}{42n^{7}}}+{\frac {1}{30n^{9}}}-{\frac {5}{66n^{11}}}+{\mathcal {O}}\!\left({\frac {1}{n^{13}}}\right),\quad n\to \infty }$.

Diese asymptotische Reihe erzeugt die Bernoullischen Zahlen.

Die Glieder in der Summe der betrachteten Reihe können für k>1 durch

${\displaystyle {\frac {1}{k(k+1)}}<{\frac {1}{k^{2}}}<{\frac {1}{(k+1)(k-1)}}}$

abgeschätzt werden. Die Reihen zu den Abschätzungen links und rechts sind Teleskopreihen,

${\displaystyle {\frac {3}{2}}-{\frac {1}{n+1}}\leq 1+\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\leq {\frac {7}{4}}-{\frac {n+{\frac {1}{2}}}{n(n+1)}}}$.

Die Differenz der letzten beiden Terme beträgt

${\displaystyle \sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k^{2}-1}}-\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}=\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k^{2}(k^{2}-1)}}}$

Somit gilt auch

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {7}{4}}-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}(k^{2}-1)}}}$.

Die n-te Partialsumme der darin auftretenden Reihe konvergiert mit der Konvergenzordnung wie ${\displaystyle {\frac {1}{n^{3}}}}$, also wesentlich schneller.

Dieses Verfahren kann beliebig fortgesetzt werden, so kann die Differenz der letzten Reihe zur Teleskopreihe ${\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{(k-1)k(k+1)(k+2)}}}$ betrachtet werden.[6]

1. Milton Abramowitz: Handbook of mathematical functions, with formulas, graphs, and mathematical tables,. Dover Publications, New York 1965, ISBN 0-486-61272-4.
2. Jean-Paul Delahaye: Sequence transformations. Springer-Verlag, Berlin 1988, ISBN 0-387-15283-0.
3. Abramowitz and Stegun. Page 16. Abgerufen am 24. Oktober 2021.
4. https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/exp-math-9/fulltext.pdf
5. Avram Sidi: Vector extrapolation methods with applications. Philadelphia 2017, ISBN 978-1-61197-496-6.
6. John McCarthy: Paul W. Abrahams. Machine verification of mathematical proof. Mathematical algorithms, vol. 1 no. 2 (1966), pp. 11–32; vol. 1 no. 3 (1966), pp. 19–38; vol. 2 (1967), pp. 28–79; vol. 3 (1968), pp. 28–155. In: Journal of Symbolic Logic. Band 37, Nr. 2, Juni 1972, ISSN 0022-4812, S. 411–412, doi:10.2307/2273006.