Kurvenintegral

Ist ${\displaystyle \gamma }$ ein geschlossener Weg, so schreibt man

statt ${\displaystyle \displaystyle \int \limits _{\gamma }}$ auch ${\displaystyle \displaystyle \oint \limits _{\gamma }}$

und analog für geschlossene Kurven ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

statt ${\displaystyle \displaystyle \int \limits _{\mathcal {C}}}$ auch ${\displaystyle \displaystyle \oint \limits _{\mathcal {C}}}$.

Mit dem Kreis im Integral möchte man deutlich machen, dass ${\displaystyle \gamma }$ geschlossen ist. Der einzige Unterschied liegt hierbei in der Notation.

• Ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ der Graph einer Funktion ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$, so wird diese Kurve durch den Weg

${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto (t,f(t))}$

parametrisiert. Wegen

${\displaystyle \|{\dot {\gamma }}(t)\|_{2}={\sqrt {1+f'(t)^{2}}}}$

ist die Länge der Kurve gleich

${\displaystyle \int \limits _{\mathcal {C}}\mathrm {d} s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+f'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.}$

• Eine Ellipse mit großer Halbachse ${\displaystyle a}$ und kleiner Halbachse ${\displaystyle b}$ wird durch ${\displaystyle (a\cos t,\,b\sin t)}$ für ${\displaystyle t\in [0,2\pi ]}$ parametrisiert. Ihr Umfang ist also

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}}\,\mathrm {d} t=4a\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}t}}\;\mathrm {d} t}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \varepsilon }$ die numerische Exzentrizität ${\displaystyle {\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}$ der Ellipse. Das Integral auf der rechten Seite wird aufgrund dieses Zusammenhanges als elliptisches Integral bezeichnet.

Ist ein Vektorfeld ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ein Gradientenfeld, d. h., ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ist der Gradient eines skalaren Feldes ${\displaystyle V}$, mit

${\displaystyle \mathbf {\nabla } V=\mathbf {F} }$,

so gilt für die Ableitung der Verkettung von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}V(\mathbf {r} (t))=\mathbf {\nabla } V(\mathbf {r} (t))\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)}$,

was gerade dem Integranden des Wegintegrals über ${\displaystyle \mathbf {F} }$ auf ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ entspricht. Daraus folgt für eine gegebene Kurve ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \int \limits _{\mathcal {S}}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int \limits _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)\,\mathrm {d} t=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}V(\mathbf {r} (t))\,\mathrm {d} t=V(\mathbf {r} (b))-V(\mathbf {r} (a)).}$

Zwei beliebige Kurven ${\displaystyle {\mathcal {S}}1}$ und ${\displaystyle {\mathcal {S}}2}$ in einem Gradientenfeld

Dies bedeutet, dass das Integral von ${\displaystyle \mathbf {F} }$ über ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ausschließlich von den Punkten ${\displaystyle \mathbf {r} (b)}$ und ${\displaystyle \mathbf {r} (a)}$ abhängt und der Weg dazwischen irrelevant für das Ergebnis ist. Aus diesem Grund wird das Integral eines Gradientenfeldes als „wegunabhängig“ bezeichnet.

Insbesondere gilt für das Ringintegral über die geschlossene Kurve ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ mit zwei beliebigen Wegen ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}}$:

${\displaystyle \oint \limits _{\mathcal {S}}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int \limits _{1,{\mathcal {S}}_{1}}^{2}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} +\int \limits _{2,{\mathcal {S}}_{2}}^{1}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} =0}$

Dies ist insbesondere in der Physik von großer Bedeutung, da beispielsweise die Gravitation diese Eigenschaften besitzt. Da die Energie in diesen Kraftfeldern stets eine Erhaltungsgröße ist, werden sie in der Physik als konservative Kraftfelder bezeichnet. Das skalare Feld ${\displaystyle V}$ ist dabei das Potential oder die potentielle Energie. Konservative Kraftfelder erhalten die mechanische Energie, d. i. die Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie. Gemäß dem obigen Integral wird auf einer geschlossenen Kurve insgesamt eine Arbeit von 0 J aufgebracht.

Wegunabhängigkeit lässt sich auch mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung zeigen.

Die Kurve ${\displaystyle \gamma }$ umläuft das Zentrum ${\displaystyle z_{0}}$ zweimal

Ist das Vektorfeld nur in einer (kleinen) Umgebung ${\displaystyle U}$ eines Punktes nicht als Gradientenfeld darstellbar, so ist das geschlossene Wegintegral von Kurven außerhalb von ${\displaystyle U}$ proportional zur Windungszahl um diesen Punkt und ansonsten unabhängig vom genauen Verlauf der Kurve (siehe Algebraische Topologie: Methodik).

Ist ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {C} }$ eine komplexwertige Funktion, dann nennt man ${\displaystyle f}$ integrierbar, wenn ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ und ${\displaystyle \operatorname {Im} f}$ integrierbar sind. Man definiert

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x:=\int \limits _{a}^{b}\operatorname {Re} f(x)\mathrm {d} x+\mathrm {i} \int \limits _{a}^{b}\operatorname {Im} f(x)\mathrm {d} x}$.

Das Integral ist damit ${\displaystyle \mathbb {C} }$-linear. Ist ${\displaystyle f}$ im Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ stetig und ${\displaystyle F}$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle f}$, so gilt wie im Reellen

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}$.

Der Integralbegriff wird nun auf die komplexe Ebene wie folgt erweitert: Ist ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ eine komplexwertige Funktion auf einem Gebiet ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$, und ist ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to U}$ ein stückweise stetig differenzierbarer Weg in ${\displaystyle U}$, so ist das Wegintegral von ${\displaystyle f}$ entlang des Weges ${\displaystyle \gamma }$ definiert als

${\displaystyle \int \limits _{\gamma }f:=\int \limits _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z:=\int \limits _{0}^{1}f(\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t.}$

Der Malpunkt bezeichnet hier komplexe Multiplikation.

Die zentrale Aussage über Wegintegrale komplexer Funktionen ist der Cauchysche Integralsatz: Für eine holomorphe Funktion ${\displaystyle f}$ hängt das Wegintegral nur von der Homotopieklasse von ${\displaystyle \gamma }$ ab. Ist ${\displaystyle U}$ einfach zusammenhängend, so hängt das Integral also überhaupt nicht von ${\displaystyle \gamma }$, sondern nur von Anfangs- und Endpunkt ab.

Analog zum reellen Fall definiert man die Länge des Weges ${\displaystyle \gamma }$ durch

${\displaystyle \operatorname {L} (\gamma ):=\int \limits _{0}^{1}\left|{\dot {\gamma }}(t)\right|\mathrm {d} t}$.

Für theoretische Zwecke ist folgende Ungleichung, die Standardabschätzung, von besonderem Interesse:

${\displaystyle \left|\int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z\right|\leq \operatorname {L} (\gamma )\cdot C}$, wenn ${\displaystyle \left|f(z)\right|\leq C}$ für alle ${\displaystyle z\in \gamma ([0,1])}$ gilt.

Wie im reellen Fall ist das Wegintegral unabhängig von der Parametrisierung des Weges ${\displaystyle \gamma }$, d. h., es ist nicht zwingend notwendig, ${\displaystyle [0,1]}$ als Parameterbereich zu wählen, wie sich durch Substitution zeigen lässt. Dies erlaubt die Definition komplexer Kurvenintegrale, indem man den obigen Formeln den Weg ${\displaystyle \gamma }$ durch eine Kurve ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ersetzt.

• Pfadintegral

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 1981, 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0. S. 369, Satz 180.1; S. 391, Satz 184.1; S. 393, Satz 185.1.

Wiktionary: Kurvenintegral – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Kurvenintegrale bei Matroids Matheplanet

1. Klaus Knothe, Heribert Wessels: Finite Elemente. Eine Einführung für Ingenieure. 3. Auflage. 1999, ISBN 3-540-64491-1, S. 524.