Kontingenztafel

Im Gegensatz zu einer normalen („flachen“) Tabelle, die in der 1. Zeile Attributnamen und in allen weiteren Zeilen Ausprägungen dieser Attribute besitzt, enthalten in einer Kreuztabelle sowohl Zeilen- als auch Spaltenüberschriften Merkmalsausprägungen, und am Schnittpunkt der entsprechenden Spalte und Zeile wird ein Wert dargestellt, der von den in der jeweiligen Spalte und Zeile angegebenen Merkmalausprägungen abhängt.

${\displaystyle X}$\${\displaystyle Y}$	${\displaystyle y_{1}}$	${\displaystyle y_{2}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle y_{K}}$	Randhäufigkeit von ${\displaystyle X}$
${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle h_{11}}$	${\displaystyle h_{12}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle h_{1K}}$	${\displaystyle h_{1\bullet }}$
${\displaystyle x_{2}}$	${\displaystyle h_{21}}$	${\displaystyle h_{22}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle h_{2K}}$	${\displaystyle h_{2\bullet }}$
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$
${\displaystyle x_{J}}$	${\displaystyle h_{J1}}$	${\displaystyle h_{J2}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle h_{JK}}$	${\displaystyle h_{J\bullet }}$
Randhäufigkeit von ${\displaystyle Y}$	${\displaystyle h_{\bullet 1}}$	${\displaystyle h_{\bullet 2}}$	${\displaystyle \ldots }$	${\displaystyle h_{\bullet K}}$	${\displaystyle h_{\bullet \bullet }}$

Eine allgemeine Kreuztabelle für zwei Variablen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ ist rechts dargestellt. Die Merkmalsausprägungen ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{J}}$ der Variablen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle y_{1},\dotsc ,y_{K}}$ der Variablen ${\displaystyle Y}$ sind oben und links angegeben. Die Anzahl der Ausprägungen ${\displaystyle J}$ und ${\displaystyle K}$ kann für beide Variablen unterschiedlich sein. Ist sie gleich, spricht man von quadratischen Kreuztabellen.

In der Tabelle findet man die absoluten Häufigkeiten ${\displaystyle h_{jk}}$, d. h. die Anzahl der Beobachtungen, in denen sowohl die Merkmalsausprägung ${\displaystyle x_{j}}$ und ${\displaystyle y_{k}}$ auftritt. Rechts sind die Randhäufigkeiten ${\displaystyle h_{j\bullet }=h_{j1}+\dotsb +h_{jK}}$ bzw. unten die Randhäufigkeiten ${\displaystyle h_{\bullet k}=h_{1k}+\dotsb +h_{Jk}}$ abgetragen.

Rechts unten findet sich schließlich die Summe der Randhäufigkeiten

${\displaystyle h_{\bullet \bullet }=h_{1\bullet }+\dotsb +h_{J\bullet }=h_{\bullet 1}+\dotsb +h_{\bullet K}=n}$,

wobei ${\displaystyle n}$ die Zahl der Beobachtungen im Datensatz ist.

Anstelle von absoluten Häufigkeiten können auch relative Häufigkeiten dargestellt werden. In diesem Fall wird statt ${\displaystyle h}$ oft ${\displaystyle f}$ benutzt und es gilt ${\displaystyle f_{\bullet \bullet }=1}$.

Insbesondere durch die statistischen Verfahren, die auf Kontingenztabellen aufbauen, werden Anforderungen an die Kategorien (eine einzelne Merkmalsausprägung oder eine Zusammenfassung von verschiedenen Merkmalsausprägungen) gestellt:

• Streng genommen müssen alle Kategorien voneinander völlig unabhängig sein. Zum Beispiel kann eine Person nicht gleichzeitig „weiblich“ und „männlich“ sein (außer in seltenen Fällen von Intersexualität, die hier vernachlässigt werden); aber bei „hat Grundschule besucht“ und „hat Berufslehre abgeschlossen“ kann man die Mitglieder der letzteren Gruppe eigentlich auch in die erste einfügen – da der Besuch der Grundschule für jeden Menschen (in westlich geprägten Gesellschaften) obligatorisch ist. Das Problem ist, dass die Randhäufigkeiten sich dann nicht zu ${\displaystyle n}$ oder ${\displaystyle 1}$ addieren.
• Des Weiteren sollte es in der Kontingenztabelle keine Zeile oder Spalten geben, in denen sich die Häufigkeiten zu Null addieren. Zum Beispiel darf eine solche Tafel nicht die Kategorien „männlich“ und „weiblich“ besitzen, wenn man eine ausschließlich männliche oder ausschließlich weibliche Grundgesamtheit untersucht. Problematisch ist, dass in der statischen Auswertung der Kehrwert dieser Summe auftritt und 1/0 nicht definiert ist.
• Zusätzlich sollte so selten wie möglich eine Kategorie „Sonstige“ eingesetzt werden; beispielsweise wie in „fährt Opel“, „fährt Peugeot“, „fährt Toyota“, „fährt anderen Personenwagen“. Dieser „Sammeltopf“ sollte, falls er doch notwendig wird, durch eine durchdachte Konzipierung so klein wie möglich gehalten werden.

Für eine dreidimensionale Tafel (drei Merkmale) werden zusätzliche Spalten in die Tabelle eingefügt:

	Geschlecht weiblich		Geschlecht männlich
Produkt \ Alter	bis 40 Jahre	über 40 Jahre	bis 40 Jahre	über 40 Jahre	Summe
Produkt A	630 (70 %)	30 (30 %)	70 (70 %)	270 (30 %)	1000
Produkt B	270 (30 %)	70 (70 %)	30 (30 %)	630 (70 %)	1000
Summe	900 (100 %)	100 (100 %)	100 (100 %)	900 (100 %)	2000

Die in Klammern hinzugesetzten Prozentwerte sollen nur den Blick darauf lenken, dass die Produktneigung keinesfalls vom Geschlecht abhängig war: Dem Produkt A sind gleichermaßen 70 % der jüngeren Frauen wie auch der Männer und 30 % der älteren Frauen wie auch der Männer zugeneigt; bei Produkt B verhält es sich genau umgekehrt.

Um dieses Phänomen einleuchtender zu machen, lohnt sich möglicherweise wieder der Blick auf eine (diesmal wieder zweidimensionale) Kontingenztafel:

Geschlecht \ Alter	bis 40 Jahre	über 40 Jahre	Summe
Weiblich	900	100	1000
Männlich	100	900	1000
Summe	1000	1000	2000

Hier wird deutlich, dass unter den jüngeren Befragten eine übergroße Mehrheit von 90 % weiblich war. Die jüngeren Kunden bevorzugen das Produkt A – nicht etwa die weiblichen! Dagegen bevorzugen die Älteren (in der Befragung vornehmlich Männer) Produkt B. Es handelt sich bei der Geschlechterrelation aus dem Beispiel nur um ein scheinbares Verhältnis, das aufgrund der unausgewogenen statistischen Menge entstehen konnte.

Zur graphischen Darstellung zweidimensionaler Kontingenztabellen bieten sich 3D-Balkendiagramme an. Ein Nachteil solcher Diagramme ist jedoch, dass je nach Blickwinkel Balken verdeckt werden können. Zudem führt die 3D-Darstellung eine Perspektive ein, die es dem Betrachter schwierig machen kann, die Höhe der Balken miteinander zu vergleichen, um zu erkennen, in welcher Zelle nun mehr Beobachtungen sind.[1]

Eine weitere Möglichkeit, die sich insbesondere bei Kontingenztafeln mit relativ wenigen Zellen anbietet, ist ein gestapeltes Säulendiagramm, das sich auf die relativen Spaltenhäufigkeiten bezieht.

Besser ist es, einen Mosaikplot zu verwenden, in dem die Flächen den Häufigkeiten für jede Kombination von Merkmalsausprägungen entsprechen. Zudem kann leicht die Unabhängigkeit von zwei oder mehr Variablen angezeigt werden.

• 
  3D Balkendiagramm des Ergebnisses der Parlamentswahlen in der Ukraine am 30. September 2007 aufgeteilt nach Regionen und Parteien.
• 
  Gestapeltes Säulendiagramm, das sich auf die relativen Spaltenhäufigkeiten bezieht (fiktive Daten).
• 
  Mosaikplot der Häufigkeiten der Passagiere der Titanic nach den Variablen Klasse (1. Klasse, 2. Klasse, 3. Klasse, Besatzung), Geschlecht (männlich, weiblich) und Überlebt (ja, nein).

Bei komplexer werdenden Kontingenztafeln lassen sich Relationen nicht mehr einfach mit dem Auge ablesen. Die Statistik setzt zur systematischen Analyse eine Reihe von Verfahren ein:

• Zusammenhangsmaße:
  • Kontingenzkoeffizienten: ${\displaystyle \chi ^{2}}$-Koeffizient, (korrigierter) Kontingenzkoeffizient, Cramérs V und Phi-Koeffizient
  • Fehlerreduktionsmaße: Goodman und Kruskals λ bzw. τ sowie der Unsicherheitskoeffizient
• Tests:
  • Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest
  • Vierfeldertest
  • Exakter Test nach Fisher
• Weitere Analyseverfahren:
  • Log-lineares Modell

• Simpson-Paradoxon
• Vierfelderkorrelation, Vierfeldertest für den einfachsten Fall

1. Heiner Abels: Handbuch des statistischen Schaubilds: Konstruktion, Interpretation und Manipulation von graphischen Darstellungen (German Edition). Verlag Neue Wirtschafts-Briefe, 1981, ISBN 978-3-482-56581-6.

• Video zur Kreuztabelle (WMV; 19,6 MB)