Kontaktgeometrie

Ein Ebenenfeld auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, das von einer Blätterung stammt

Die nebenstehenden Bilder stellen Ausschnitte aus Ebenenverteilungen auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ dar, das heißt, dass pro Punkt im dreidimensionalen Raum eine Ebene ausgewählt ist, von der jeweils ein kleines Stück gezeichnet wurde. Im unteren Bild passen die ausgewählten Ebenen so zusammen, dass sie überall als Tangentialebenen an eine Blätterung interpretiert werden können; solche Verteilungen heißen integrierbar. Im oberen Bild hingegen ist dies nicht der Fall, und das sogar in keinem einzigen Punkt. Eine Ebenenverteilung mit dieser Eigenschaft heißt vollständig nicht-integrierbar oder maximal nicht-integrabel und definiert eine Kontaktstruktur.

Tatsächlich sieht jede Kontaktstruktur im Kleinen ungefähr wie die im Bild dargestellte aus; dies ist die Aussage des weiter unten dargestellten Satzes von Darboux. Die Kontaktgeometrie stellt sich deshalb die Frage, wie Kontaktstrukturen auf verschiedenen Mannigfaltigkeiten im Großen aussehen können und welche Eigenschaften sie haben.

Eine Kontaktstruktur auf einer Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist durch ein Feld ${\displaystyle \xi }$ von Hyperebenen gegeben, also für jeden Punkt ${\displaystyle p}$ von ${\displaystyle M}$ die Angabe einer Hyperebene im Tangentialraum ${\displaystyle T_{p}M}$, wobei dieses Feld vollständig nicht-integrierbar sein muss. Der Satz von Frobenius besagt, wann eine Ebenenverteilung wie ${\displaystyle \xi }$ integrierbar ist; eine Kontaktstruktur ist also eine Ebenenverteilung, die in keinem Punkt die Bedingungen dieses Satzes erfüllt.

Oft ist es praktischer, nicht direkt mit Kontaktstrukturen, sondern mit Kontaktformen zu arbeiten. Eine Kontaktform ist eine differenzierbare 1-Form ${\displaystyle \alpha }$ auf einer (2n+1)-dimensionalen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$, die in folgendem Sinne nirgendwo degeneriert ist:

${\displaystyle (\alpha \wedge ({\text{d}}\alpha )^{n})_{p}\neq 0\,}$ für alle ${\displaystyle p\in M,}$

wobei

${\displaystyle ({\text{d}}\alpha )^{n}=\underbrace {{\text{d}}\alpha \wedge \dots \wedge {\text{d}}\alpha } _{n},}$

das heißt, dass ${\displaystyle \alpha \wedge ({\text{d}}\alpha )^{n}}$ eine Volumenform ist.

Eine Kontaktform definiert eindeutig eine Kontaktstruktur. Der Kern ${\displaystyle \xi }$ von ${\displaystyle \alpha }$ ist ein Hyperebenenfeld und die obige Bedingung bewirkt nach dem Satz von Frobenius, dass ${\displaystyle \xi }$ eine Kontaktstruktur ist: Dieses Feld ist vollständig nicht-integrierbar.

Umgekehrt, ebenfalls nach dem Satz von Frobenius, lässt sich ein integrierbares Ebenenfeld lokal als Kern einer geschlossenen (eine Differentialform ${\displaystyle \alpha }$ heißt geschlossen, wenn ${\displaystyle {\text{d}}\alpha =0}$) 1-Form beschreiben; hingegen ist eine Kontaktstruktur ein Ebenenfeld, das sich lokal als der Kern einer Kontaktform beschreiben lässt.

Äquivalent zur Bedingung von oben kann man die Nicht-Degeneriertheit von ${\displaystyle \alpha }$ dadurch fordern, dass ${\displaystyle {\text{d}}\alpha }$ eine symplektische Form auf dem Hyperebenenfeld sein soll.

Eine Kontaktform enthält mehr Informationen als eine Kontaktstruktur, unter anderem definiert sie zusätzlich ein Reeb-Vektorfeld. Dieses Vektorfeld ist pro Punkt durch den eindeutigen Vektor ${\displaystyle R}$ definiert, so dass ${\displaystyle {\rm {d}}\alpha (R,\cdot )=\,0}$ und ${\displaystyle \alpha (R)=1}$.

Die Weinstein-Vermutung besagt, dass jedes Reeb-Vektorfeld geschlossene Orbiten hat.

Sei ${\displaystyle (W,\omega )}$ eine symplektische Mannigfaltigkeit mit konvexem Rand, ${\displaystyle \omega =d\lambda }$ in einer Umgebung von ${\displaystyle \partial W}$. Dann definiert ${\displaystyle \lambda }$ eine Kontaktstruktur auf ${\displaystyle \partial W}$. Man sagt, die Kontakt-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (\partial W,\lambda )}$ ist symplektisch füllbar (engl.: symplectically fillable).

Ein Liouville-Gebiet ist eine symplektische Füllung, bei der ${\displaystyle \lambda }$ mit ${\displaystyle \omega =d\lambda }$ auf ganz ${\displaystyle W}$ definiert ist.

Eine schwache symplektische Füllung einer Kontaktmannigfaltigkeit ${\displaystyle (M,\xi =\ker(\lambda ))}$ ist eine symplektische Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (W,\omega )}$ mit ${\displaystyle M=\partial W}$ und ${\displaystyle \omega _{\xi }:=\omega \mid _{\xi }}$ konform äquivalent zu ${\displaystyle d\lambda \mid _{\xi }}$. In Dimensionen ${\displaystyle \geq 5}$ ist jede schwach füllbare Kontaktstruktur auch symplektisch füllbar, weshalb man in diesen Dimensionen einen schwächeren Begriff von schwacher Füllbarkeit betrachtet: ${\displaystyle (W,\omega )}$ ist eine schwache Füllung von ${\displaystyle (M,\lambda )}$ wenn ${\displaystyle \lambda \wedge (w_{\xi }+td\lambda )^{n-1}>0}$ für alle ${\displaystyle t\geq 0}$ ist.[3]

Die interessantesten Untermannigfaltigkeiten einer Kontaktmannigfaltigkeit ${\displaystyle (M,\xi )}$ sind ihre Legendre-Untermannigfaltigkeiten. Die Nicht-Integrabilität des Kontakt-Hyperebenenfeldes auf einer ${\displaystyle (2n+1)}$-dimensionalen Mannigfaltigkeit bedeutet, dass keine ${\displaystyle 2n}$-dimensionale Untermannigfaltigkeit dieses Feld als Tangentialbündel besitzt, nicht einmal lokal. Allerdings lassen sich ${\displaystyle n}$-dimensionale (eingebettete oder immersierte) Untermannigfaltigkeiten ${\displaystyle L}$ finden, deren Tangentialräume im Kontaktfeld liegen, d. h.

${\displaystyle {\text{T}}_{p}L\subset \xi }$ für alle ${\displaystyle p\in M}$.

Man kann zeigen, dass solche, sogenannt isotrope, Untermannigfaltigkeiten höchstens Dimension ${\displaystyle n}$ erreichen. Eine Untermannigfaltigkeit dieser maximalen Dimension wird Legendre-Untermannigfaltigkeit genannt. Zwei solcher Untermannigfaltigkeiten heißen äquivalent, wenn sie sich durch eine Familie von Kontaktomorphismen der umgebenden Mannigfaltigkeit verbinden lassen, ausgehend von der Identität.

Betrachtet man Kontaktmannigfaltigkeiten der Dimension drei, dann bilden die zusammenhängenden kompakten Legendre-Mannigfaltigkeiten Knoten, die man Legendre-Knoten nennt. Jeder Knoten in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ mit seiner Standard-Kontaktstruktur (siehe das Beispiel oben) lässt sich als Legendre-Knoten realisieren. Manchmal kann dies auf verschiedene Arten geschehen: Inäquivalente Legendre-Knoten können als gewöhnliche Knoten äquivalent sein.

Aus der symplektischen Feldtheorie lassen sich Invarianten von Legendre-Untermannigfaltigkeiten gewinnen, relative Kontakthomologie genannt, die manchmal verschiedene Legendre-Untermannigfaltigkeiten unterscheiden können, welche topologisch identisch sind.

Der Satz von Darboux ist ein grundlegendes Resultat der Kontaktgeometrie wie auch der noch bekannteren symplektischen Geometrie. Er ist nach Jean Gaston Darboux benannt, der damit das Pfaffsche Problem (nach Johann Friedrich Pfaff) löste. Eine der Konsequenzen des Satzes ist, dass zwei beliebige Kontaktmannigfaltigkeiten derselben Dimension immer lokal kontaktomorph sind. Es gibt also für jeden Punkt ${\displaystyle p}$ aus ${\displaystyle M}$ eine Umgebung ${\displaystyle U}$, die ${\displaystyle p}$ enthält, und lokale Koordinaten auf ${\displaystyle U}$, in denen die Kontaktstruktur die oben angegebene Standardform hat.

Im Vergleich zur Riemannschen Geometrie ist dies ein starker Kontrast: Riemannsche Mannigfaltigkeiten haben interessante lokale Eigenschaften wie etwa die Krümmung. Im Gegensatz dazu gibt es im Kleinen nur ein einziges Modell von Kontaktmannigfaltigkeiten. Zum Beispiel sind die beiden beschriebenen und abgebildeten Kontaktstrukturen auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ lokal kontaktomorph und können deshalb (cum grano salis) beide Standardkontaktstruktur auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ genannt werden.

Einführende Texte zur Kontaktgeometrie

• Emmanuel Giroux: Topologie de contact en dimension 3. In: Séminaire Bourbaki. Nr. 760 (1992/93), S. 7–33 (numdam.org).
• John Etnyre: Introductory lectures on contact geometry. In: Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Nr. 71, 2003, S. 81–107, arxiv:math.SG/0111118 (englisch).
• Hansjörg Geiges: Contact geometry. In: Franki Dillen and Leopold Verstraelen (Hrsg.): Handbook of Differential Geometry. Band 2. North-Holland, Amsterdam 2006, S. 315–382, arxiv:math.SG/0307242.
• Hansjörg Geiges Christiaan Huygens and Contact Geometry, Uni Köln, Juni 2005, PDF (abgerufen am 8. April 2014)

Geschichte

• Sophus Lie, Georg Scheffers: Geometrie der Berührungstransformationen. Chelsea Publishing, Bronx NY 1977, ISBN 0-8284-0291-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche – Erstausgabe: Teubner, Leipzig 1896).
• Robert Lutz: Quelques remarques historiques et prospectives sur la géométrie de contact. In: Gruppo Nazionale di Geometria delle Varietà Differenziabili (Hrsg.): Proceedings of the conference on differential geometry and topology. (Cala Gonone/Sardinia). 1988, 09. 26–30 (= Rendiconti del Seminario della Facoltà di Scienze della Università di Cagliari. 58, Suppl., ISSN 0370-727X) Tecnoprint, Bologna, 1988, S. 361–393.
• Hansjörg Geiges: A brief history of contact geometry and topology. In: Expositiones Mathematicae. Nr. 19, 2001, ISSN 0723-0869, S. 25–53 (englisch).

• Manifold Atlas: Contact Manifold

1. Sophus Lie, Georg Scheffers: Geometrie der Berührungstransformationen. B. J. Teubner, 1896 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
2. H. Geiges: Contact manifold (Manifold atlas)
3. Massot-Niederkrüger-Wendl: Weak and strong fillability in higher dimensions. Inventiones Mathematicae 2013