Konstruierbare Zahl

Es seien ${\displaystyle O}$ und ${\displaystyle A}$ zwei verschiedene Punkte in der euklidischen Ebene und ${\displaystyle S}$ sei die Menge all derjenigen Punkte, die davon ausgehend mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können. Die Punkte aus ${\displaystyle S}$ heißen konstruierbare Punkte. Definitionsgemäß sind ${\displaystyle O}$ und ${\displaystyle A}$ Elemente von ${\displaystyle S}$. Um die übrigen Punkte von ${\displaystyle S}$ präziser beschreiben zu können, treffen wir folgende Definitionen:[6]

• Eine Strecke, deren Endpunkte in ${\displaystyle S}$ liegen, heißt eine konstruierte Strecke, und
• ein Kreis, dessen Mittelpunkt in ${\displaystyle S}$ liegt und durch einen weiteren Punkt von ${\displaystyle S}$ verläuft (oder anders ausgedrückt, dessen Radius gleich dem Abstand zwischen zwei Punkten aus ${\displaystyle S}$ ist), heißt ein konstruierter Kreis.

${\displaystyle S}$ besteht dann neben ${\displaystyle O}$ und ${\displaystyle A}$ aus:[7][8]

• dem Durchschnitt zweier nicht-paralleler konstruierter Strecken bzw. zweier nicht-paralleler Geraden durch eine konstruierte Strecke,
• den Punkten des Durchschnitts eines konstruierten Kreises mit einer konstruierten Strecke bzw. einer Geraden durch eine konstruierte Strecke und
• den Punkten des Durchschnitts zweier verschiedener konstruierter Kreise.

Beispielsweise ist der Mittelpunkt der konstruierten Strecke ${\displaystyle OA}$ ein konstruierbarer Punkt. Eine Konstruktion besteht darin, zunächst zwei Kreise mit Radius ${\displaystyle OA}$ um ${\displaystyle O}$ und ${\displaystyle A}$ zu schlagen und dann die Strecke zwischen den zwei Schnittpunkten dieser Kreise zu bilden. Der Mittelpunkt der Strecke ${\displaystyle OA}$ ist dann der Durchschnitt beider Strecken.[9]

Die Ausgangsdaten der geometrischen Formulierung können zur Definition eines kartesischen Koordinatensystems verwendet werden, in dem ${\displaystyle O}$ dem Ursprung mit den Koordinaten ${\displaystyle (0,0)}$ und ${\displaystyle A}$ dem Punkt mit den Koordinaten ${\displaystyle (1,0)}$ zugewiesen wird. Mittels der Punkte aus ${\displaystyle S}$ kann nun die Verbindung zwischen Geometrie und Algebra geschlagen werden, indem man eine konstruierbare Zahl als Koordinate eines konstruierbaren Punktes definiert.[10]

Äquivalente Definitionen sind, dass eine konstruierbare Zahl die ${\displaystyle x}$-Koordinate eines konstruierbaren Punktes ${\displaystyle (x,0)}$ ist[11] oder die Länge einer konstruierbaren Strecke[12]. Bei der längenbasierten Definition muss man die ${\displaystyle 0}$ als Spezialfall einer konstruierbaren Zahl hinzunehmen. Für eine Richtung dieser Äquivalenz beachte, dass, wenn ein konstruierbarer Punkt die Koordinaten ${\displaystyle (x,y)}$ hat, auch der Punkt ${\displaystyle (x,0)}$ als Orthogonalprojektion auf die ${\displaystyle x}$-Achse konstruiert werden kann, und die Strecke vom Ursprung zu diesem Punkt die Länge ${\displaystyle x}$ hat. Ist für die andere Richtung ${\displaystyle x}$ die Länge einer Strecke, so schlage man einen Kreis mit diesem Radius um den Ursprung, um daraus ${\displaystyle (x,0)}$ als Schnittpunkt dieses Kreises mit der ${\displaystyle x}$-Achse zu erhalten. Es folgt aus dieser Äquivalenz, dass jeder Punkt, dessen kartesische Koordinaten konstruierbare Zahlen sind, selbst ein geometrisch konstruierbarer Punkt ist. Sind nämlich ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ geometrisch konstruierbare Zahlen, erhält man den Punkt ${\displaystyle (x,y)}$ als Durchschnitt der Geraden, die durch ${\displaystyle (x,0)}$ und ${\displaystyle (0,y)}$ und jeweils senkrecht zu den Achsen verlaufen.[13]

Die algebraisch konstruierbaren reellen Zahlen sind diejenige Teilmenge der reellen Zahlen, die durch Kombinationen ganzer Zahlen mittels der Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Ziehen der Quadratwurzel (einer positiven Zahl) beschrieben werden können. Man kann unter Inkaufnahme längerer Ausdrücke die Verwendung ganzer Zahlen auf 0 und 1 beschränken.[14] So ist zum Beispiel die Quadratwurzel aus 2 konstruierbar, da sie durch die Formeln ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ oder ${\displaystyle {\sqrt {1+1}}}$ beschrieben werden kann.

Ganz analog sind die algebraisch konstruierbaren komplexen Zahlen diejenige Teilmenge der komplexen Zahlen, die durch Formeln desselben Typs beschrieben werden können, wobei das Ziehen der Quadratwurzel aber nicht auf positive Zahlen beschränkt ist, sondern auf beliebige komplexe Argumente angewendet werden kann. Alternativ kann man sie als die Menge der komplexen Zahlen beschreiben, deren Real- und Imaginärteil beide konstruierbare reelle Zahlen sind.[15] Beispielsweise hat die komplexe Zahl ${\displaystyle \mathrm {i} }$ die Formeln ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ oder ${\displaystyle {\sqrt {0-1}}}$, und ihr Real- und Imaginärteil sind die konstruierbaren Zahlen 0 bzw. 1.

Diese beiden Definitionen konstruierbarer komplexer Zahlen sind äquivalent.[16] Ist in einer Richtung ${\displaystyle q=x+iy}$ eine komplexe Zahl, deren Realteil ${\displaystyle x}$ und Imaginärteil ${\displaystyle y}$ beide konstruierbare reelle Zahlen sind, so liefert die Ersetzung ihrer Formeln in ${\displaystyle x+y{\sqrt {-1}}}$ eine Formel für ${\displaystyle q}$ als komplexe Zahl. Umgekehrt kann man aus jeder Formel für eine konstruierbare komplexe Zahl Formeln für ihren Real- und Imaginärteil gewinnen, indem man für alle Operationen sukzessive folgende Umformungen vornimmt:

• ${\displaystyle (a+\mathrm {i} b)\pm (c+\mathrm {i} d)=(a+c)\pm \mathrm {i} (b+d)}$
• ${\displaystyle (a+\mathrm {i} b)(c+\mathrm {i} d)=(ac-bd)+\mathrm {i} (ad+bc)}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{a+\mathrm {i} b}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+\mathrm {i} {\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt {a+\mathrm {i} b}}={\frac {(a+r){\sqrt {r}}}{s}}+\mathrm {i} {\frac {b{\sqrt {r}}}{s}}}$, wobei ${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}{}_{\!}}}}$ und ${\displaystyle s={\sqrt {(a+r)^{2}+b^{2}}}}$.

Die algebraisch konstruierbaren Punkte können als die Punkte definiert werden, deren reelle kartesische Koordinaten algebraisch konstruierbare reelle Zahlen sind. Alternativ können sie als Punkte der komplexen Ebene definiert werden, die durch algebraisch konstruierbare komplexe Zahlen gegeben sind. Auf Grund der Äquivalenz der beiden Definitionen der algebraisch konstruierbaren Zahlen sind auch diese beiden Definitionen der algebraisch konstruierbaren Punkte äquivalent.[16]

Das Problem der Quadratverdoppelung kann leicht gelöst werden, indem man ein weiteres Quadrat über der Diagonale des ersten errichtet, diese hat eine ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$-fache Seitenlänge und doppelten Flächeninhalt. Das Problem der Würfelverdoppelung führt ganz analog auf das Problem, eine Strecke der Länge ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ zu konstruieren. Aber diese Zahl ist nicht konstruierbar, denn das Minimalpolynom ${\displaystyle x^{3}-2}$ dieser Zahl hat den Grad ${\displaystyle 3}$ über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.[30] Dieses muss als kubisches Polynom, dessen einzige reelle Nullstelle irrational ist, irreduzibel sein, und daraus folgt, dass ${\displaystyle [\mathbb {\mathbb {Q} } ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {\mathbb {Q} } ]=3}$ ist. Da dies keine Zweierpotenz ist, folgt die behauptete Nichtkonstruierbarkeit.[31]

Bei diesem Problem soll zu einem gegebenen Winkel ${\displaystyle \alpha }$ der Winkel ${\displaystyle \alpha /3}$ konstruiert werden. Algebraisch werden Winkel durch trigonometrische Funktionen dargestellt, wie etwa ihrer Sinus- oder Kosinuswerte, die die kartesischen Koordinaten des Endpunktes einer Einheitsstrecke sind, die mit der Anfangsstrecke den gegebenen Winkel einschließt. Daher ist ein Winkel ${\displaystyle \alpha }$ genau dann konstruierbar, wenn ${\displaystyle x=\cos \alpha }$ eine konstruierbare Zahl ist, und das Problem der Winkeldreiteilung ist auf die Konstruktion von ${\displaystyle \cos({\tfrac {\alpha }{3}})}$ zurückgeführt. Beispielsweise kann der Winkel ${\displaystyle \alpha =\pi /3=60^{\circ }}$ als Winkel eines gleichseitigen Dreiecks mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, es ist ${\displaystyle x=\cos \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$. Der gedrittelte Winkel ${\displaystyle \alpha /3=\pi /9=20^{\circ }}$ hingegen kann nicht konstruiert werden, denn ${\displaystyle \cos \pi /9}$ hat das Minimalpolynom ${\displaystyle 8x^{3}-6x-1}$ und dieses ist vom Grad ${\displaystyle 3}$ über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Da dieser spezielle Winkel nicht dreigeteilt werden kann, ist das allgemeine Problem der Winkeldreiteilung unlösbar.[32]

Ein Quadrat mit Flächeninhalt ${\displaystyle \pi }$, das ist der Inhalt des Einheitskreises, hätte die Seitenlänge ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$, eine transzendente Zahl. Daher sind dieses Quadrat und seine Seitenlänge nicht konstruierbar, denn die Länge ist nicht algebraisch über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, kann also in keinem endlichen Körperturm über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ liegen.[33]

Das regelmäßige Siebeneck

Reflexion an der Kreislinie

Wenn ein regelmäßiges ${\displaystyle n}$-Eck mit Zentrum im Ursprung konstruierbar ist, so auch die Winkel zwischen zwei Strecken vom Ursprung zu zwei benachbarten Ecken, und diese sind ${\displaystyle 2\pi /n}$. Das Polygon kann daher genau dann konstruiert werden, wenn der Kosinus des Winkels eine trigonometrische Zahl ist. So ist etwa das regelmäßige Fünfzehneck konstruierbar, das regelmäßige Siebeneck hingegen nicht, denn ${\displaystyle 7}$ ist eine Primzahl, die keine Fermatsche Primzahl ist.[34] Für einen direkteren Beweis der Nichtkonstruierbarkeit des Siebenecks stelle man die Ecken als komplexe Wurzeln des Polynoms ${\displaystyle x^{7}-1}$ dar. Das Herausdividieren des Linearfaktors ${\displaystyle x-1}$, Division durch ${\displaystyle x^{3}}$ und anschließende Substitution ${\displaystyle y=x+{\tfrac {1}{x}}}$ liefert das Polynom ${\displaystyle y^{3}+y^{2}-2y-1}$. Da dieses Polynom irreduzibel ist, kann man wieder auf die Nichtkonstruierbarkeit von ${\displaystyle y}$, also von ${\displaystyle x}$ und damit des Siebenecks schließen.[35]

Es seien zwei Punkte und ein kreisförmiger Spiegel gegeben. Wo auf dem Kreis sieht man von einem Punkt aus das reflektierte Bild des anderen Punktes? Geometrisch treffen die Geraden durch die gegebenen Punkte und den Reflektionspunkt im gleichen Winkel auf die Kreislinie und bilden gleichlange Kreissehnen. Es ist aber im Allgemeinen nicht möglich, diesen Punkt mit Zirkel und Lineal zu konstruieren. Insbesondere für den Einheitskreis und die beiden inneren Punkte ${\displaystyle ({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}})}$ und ${\displaystyle (-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$ führt die Lösung auf die Nullstellen des Polynoms ${\displaystyle x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+2x-1}$ vierten Grades. Obwohl es sich beim Grad um eine Zweierpotenz handelt, hat der Zerfällungskörper einen durch ${\displaystyle 3}$ teilbaren Grad, das heißt, er entsteht nicht als iterierte quadratische Erweiterung. Das Alhazensche Problem ist daher nicht lösbar.[36]