Konservative Kraft

Konservative Kraftfelder sind dem zuvor Gesagten folgend solche, in denen ein Probekörper beim Durchlaufen eines in sich geschlossenen Weges weder Energie gewinnt noch verliert.

Es lässt sich zeigen, dass die nachstehenden vier Charakteristika eines konservativen Kraftfelds ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}$ einander äquivalent sind:

1. Die Arbeit entlang jeder beliebigen geschlossenen Kurve ${\displaystyle C}$ innerhalb des Feldes ist gleich Null, also ${\displaystyle \oint _{C}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=0}$.

2. Die Arbeit ${\displaystyle W=\int _{S}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}$ entlang eines beliebigen Weges ${\displaystyle S}$ durch das Kraftfeld ist nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges, nicht aber von seinem Verlauf abhängig.

3. Es existiert ein skalares Feld ${\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}$, welches das zugehörige Potential des Kraftfelds genannt wird, so dass sich die Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})}$ auch in der Form ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=-Q{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}$ beschreiben lässt, d. h. als Gradientenfeld, mit ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$ als dem Nabla-Operator, ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})}$ als dem Gradienten des Potentials und der Ladung oder Kopplungsstärke ${\displaystyle Q}$, die im Fall des elektrischen Felds die elektrische Ladung q des Probekörpers, im Fall des Gravitationsfelds seine Masse m ist.

4. Das Feld ist auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet definiert und erfüllt dort die Integrabilitätsbedingung ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{k}}}}$. Dies bedeutet, dass die Rotation verschwindet, also ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {0}}}$ bzw. ${\displaystyle \operatorname {rot} \,{\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {0}}\,}$ ist.

Analog zum eben Gesagten werden in der Mathematik ganz allgemein Vektorfelder, die sich als Gradienten skalarer Felder beschreiben lassen, als konservativ bezeichnet, zusammengesetzt aus Potentialvektoren, denen auf Seiten der skalaren Ausgangsfelder die zugehörigen Potentiale gegenüberstehen[3].

Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters (Sicht entgegen der Stromrichtung)

Beim letzten der obengenannten vier Charakteristika konservativer Kraftfelder ist insbesondere auf das Kriterium des „einfach zusammenhängenden Gebiets“, also darauf zu achten, dass das Gebiet, anschaulich gesprochen, keine „Löcher“ oder ähnliche Definitionslücken enthält. Nicht „einfach zusammenhängend“ in diesem Sinn ist beispielsweise das Gebiet um einen stromdurchflossenen Leiter, dessen Magnetfeld zwar außerhalb des Leiters wie nachstehend definiert ist, für die z-Achse (0|0|z) selbst jedoch weder ${\displaystyle {\vec {B}}}$ noch seine Ableitung existieren:

${\displaystyle {\vec {B}}(x,y,z)={\frac {\mu _{0}\,I}{2\pi }}\,{\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}{\begin{pmatrix}-y\\x\\0\end{pmatrix}}}$

So gilt zwar außerhalb des Leiters ${\displaystyle \operatorname {rot} \,{\vec {B}}=0\ }$. Dennoch verschwindet ein Ringintegral um die z-Achse nicht. Integriert man zum Beispiel entlang des Einheitskreises, der durch

${\displaystyle \quad C:{\vec {r}}(\varphi )={\begin{pmatrix}\cos(\varphi )\\\sin(\varphi )\end{pmatrix}}\quad }$ mit ${\displaystyle \quad 0\leq \varphi <2\pi }$

parametrisiert wird, so erhält man als Wegintegral

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C}{\vec {B}}\,\mathrm {d} {\vec {r}}&=\int {\vec {B}}({\vec {r}}(\varphi ))\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}(\varphi )}{\partial \varphi }}\mathrm {d} \varphi \\&={\frac {\mu _{0}\,I}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\begin{pmatrix}-\sin(\varphi )\\\cos(\varphi )\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-\sin(\varphi )\\\cos(\varphi )\quad \end{pmatrix}}d\varphi \\&=\mu _{0}\,I\neq 0\ \end{aligned}}}$

Obwohl die Rotation ${\displaystyle \operatorname {rot} \,{\vec {B}}}$ mit Ausnahme der Definitionslücke an der z-Achse überall verschwindet, ist das B-Feld dadurch nicht durchgehend konservativ. Da die Energie dennoch auf allen Pfaden erhalten bleibt, die die z-Achse nicht umschließen, spricht man hier einschränkend von lokaler Konservativität.

Wie anfangs bereits festgestellt, sind die vier Definitionen für ein konservatives Kraftfeld miteinander gleichbedeutend. Das erste Kriterium ist gerade die Definition einer konservativen Kraft aus der Einleitung, die anderen folgen daraus.

Zwei beliebige Wege in einem konservativen Kraftfeld

1. Davon ausgehend, dass die Arbeit entlang eines geschlossenen Pfades verschwindet, kann zunächst die Korrektheit des zweiten Kriteriums gezeigt werden. Man betrachte dazu zwei Wege ${\displaystyle S_{1}}$ und ${\displaystyle S_{2}}$ zwischen den Punkten 1 und 2 in einem konservativen Kraftfeld wie im Bild rechts:

Verläuft ${\displaystyle C}$ von Punkt 1 über Weg ${\displaystyle S_{1}}$ zum Punkt 2, dann über den Weg ${\displaystyle S_{2}}$ zurück zum Punkt 1, so ergibt sich das Ringintegral über diesen Weg damit zu

${\displaystyle 0=\oint _{C}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=\int _{1,S_{1}}^{2}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}+\int _{2,-S_{2}}^{1}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}$

Mit

${\displaystyle \int _{1,S_{1}}^{2}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=-\int _{2,-S_{2}}^{1}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=\int _{1,S_{2}}^{2}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}$

ist das dann und genau dann null, wenn

${\displaystyle \int _{1,S_{1}}^{2}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=\int _{1,S_{2}}^{2}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}$

was gerade der Wegunabhängigkeit und damit der zweiten Definition für ein konservatives Kraftfeld entspricht.

2. Wenn ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}V({\vec {r}})}$, so ist

${\displaystyle \int _{1}^{2}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=-\int _{1}^{2}{\vec {\nabla }}V({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=V(1)-V(2)}$, unabhängig vom Weg S.

3. Wenn ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}V({\vec {r}})}$, so gilt für die Rotation

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}V({\vec {r}})={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\frac {\partial V}{\partial x}}\\{\frac {\partial V}{\partial y}}\\{\frac {\partial V}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z\partial y}}\\{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\partial x}}\end{pmatrix}}={\vec {0}}}$,

wobei der letzte Schritt wegen der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen gemäß dem Satz von Schwarz zustande kam.

4. Nach dem Satz von Stokes gilt für eine Fläche A, die von einer geschlossenen Kurve C umschlossen wird

${\displaystyle \iint _{A}{\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=\oint _{C}{\vec {F}}\mathrm {\cdot } \mathrm {d} {\vec {r}}}$.

Dieses Integral verschwindet für alle Kurven C dann und genau dann, wenn ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {0}}\ }$ ist.

In der klassischen Mechanik gilt für die kinetische Energie

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}}$,

wobei ${\displaystyle {\vec {v}}}$ die Geschwindigkeit ist.

Mit dem zweiten Newtonschen Axiom

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\dot {\vec {v}}}}$

für konstante Massen ${\displaystyle m}$ kann die Energie geschrieben werden.

${\displaystyle E=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)\,\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}m{\dot {\vec {v}}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)\,\mathrm {d} t}$.

Dann gilt für den Weg von Punkt 1 zum Punkt 2 das Wegintegral

${\displaystyle \int _{1,S1}^{2}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {\vec {v}}}(t)\cdot {\vec {v}}(t)\,\mathrm {d} t}$.

Für die rechte Seite dieser Gleichung gilt

${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}(t)\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}(t_{2})-{\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}(t_{1})=T(t_{2})-T(t_{1})=T_{2}-T_{1}}$.

Das bedeutet, dass die gesamte Arbeit, die bei der Bewegung aufgebracht wird, der Änderung der kinetischen Energie entspricht. Für die linke Seite gilt hingegen unter Verwendung der Eigenschaften konservativer Kräfte

${\displaystyle \int _{1,S1}^{2}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=-\int _{1,S1}^{2}\nabla V\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=-V(r_{2})+V(r_{1})=-V_{2}+V_{1}}$

und damit

${\displaystyle T_{2}-T_{1}=-V_{2}+V_{1}\ }$

bzw.

${\displaystyle T_{1}+V_{1}=T_{2}+V_{2}\ }$

was gerade dem Energieerhaltungssatz entspricht. Die Eigenschaft der Energieerhaltung ist auch der Grund, weshalb konservative Kraftfelder ihren Namen erhielten – die Energie ist konserviert.

1. David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Physik. = Halliday Physik. Bachelor-Edition. Wiley-VCH, Weinheim 2007, ISBN 978-3-527-40746-0, S. 143–145.
2. Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. (Wiley-VCH) Weinheim 2006, ISBN 978-3-527-40746-0, S. 21 f.
3. Walter Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, Herbert Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Verlag Enzyklopädie, Leipzig 1970, S. 547.