Kongruenzuntergruppe

In der Mathematik sind Kongruenzuntergruppen eine Klasse arithmetisch definierter diskreter Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe.

In der Theorie der Modulformen werden häufig Kongruenzuntergruppen zur Modulgruppe $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ betrachtet.

Definition

Sei

G\subset \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )

eine über $\mathbb {Q}$ definierte algebraische Gruppe und $N$ eine natürliche Zahl. Dann ist

{\displaystyle \Gamma

eine Kongruenzuntergruppe. (Hierbei bezeichnet $p_{N}$ die Einschränkung der „Reduktion modulo N“ auf $G(\mathbb {Z} )$ .)

Arithmetische Gruppen

Kongruenzuntergruppen sind (nach Konstruktion) arithmetische Gruppen. Für $n\geq 3$ enthält jede arithmetische Gruppe $\Gamma \subset \mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )$ eine Kongruenzuntergruppe.[1][2]

Allgemeine Ringe

Sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine Kongruenzuntergruppe ist der Kern des Homomorphismus

SL(R)\to SL(R/I)

für ein Ideal $I\subset R$ .

Congruence subgroup problem

Das congruence subgroup problem fragt, ob für einen kommutativen Ring $R$ jeder Normalteiler in $SL(R)$ eine Kongruenzuntergruppe ist.

Literatur

Madabusi S. Raghunathan: The congruence subgroup problem. In: Sundararaman Ramanan (Hrsg.): Proceedings of the Hyderabad Conference on Algebraic Groups (December 1989). Manoj Prakashan, Madras 1991, ISBN 81-231-0090-6, S. 465–494.
Madabusi S. Raghunathan: The congruence subgroup problem. In: Proceedings of the Indian Academy of Sciences. Mathematical Sciences. Bd. 114, Nr. 4, 2004, S. 299–308, doi:10.1007/BF02829437.

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[1] Madabusi S. Raghunathan: The congruence subgroup problem. In: Sundararaman Ramanan (Hrsg.): Proceedings of the Hyderabad Conference on Algebraic Groups (December 1989). Manoj Prakashan, Madras 1991, ISBN 81-231-0090-6, S. 465–494.

[2] Madabusi S. Raghunathan: The congruence subgroup problem. In: Proceedings of the Indian Academy of Sciences. Mathematical Sciences. Bd. 114, Nr. 4, 2004, S. 299–308, doi:10.1007/BF02829437.