Kondo-Modell

Das Kondo-Modell – auch s-d-Modell genannt – ist ein mathematisches Modell zur Beschreibung des elektrischen Widerstandes in Metallen mit magnetischen Störstellen – dem sogenannten Kondo-Effekt (das anomale Ansteigen des Widerstandes bei sehr tiefen Temperaturen).

In diesem vereinfachten Modell werden die stromerzeugenden Elektronen als freie Elektronen im Leitungsband (s-Band) modelliert. Die magnetischen Störstellen am Platz i im Kristallgitter werden als lokalisierte Spins angenommen, welche über eine (anti-)magnetische Spin-Spin-Wechselwirkung an die Leitungsbandelektronen gekoppelt sind. Die Modellierung der magnetischen Störstellen als lokalisierte Spins beruht auf der Annahme, dass die Elektronen in den d-Orbitale der magnetischen Störstellen stark lokalisiert sind. Diese s-d-Wechselwirkung wurde zuerst 1951 von Clarence Melvin Zener beschrieben.[1] Kasuya quantifizierte dieses Modell 1956 und stellte den zugehörigen Hamiltonian auf.[2] 1964 behandelte Jun Kondo[3] dieses Modell mittels Störungstheorie 3. Ordnung und berechnete damit den elektrischen Widerstand. Das berechnete Verhalten des elektrischen Widerstandes zeigte qualitativ den experimentell gefundenen Kondo-Effekt.

Mathematische Beschreibung

Das Kondo-Modell kann mit dem folgenden Hamiltonian beschrieben werden:

{\begin{aligned}H_{\text{Kondo}}&=H_{0}+H_{J}\\H_{0}&=\sum _{{\vec {k}},\sigma }\epsilon ({\vec {k}})c_{{\vec {k}},\sigma }^{\dagger }c_{{\vec {k}},\sigma }\\H_{J}&=-{\frac {J}{N}}\sum _{n{\vec {k}}{\vec {k}}'}\exp(i({\vec {k}}-{\vec {k}}'){\vec {R}}_{n}){\vec {s}}_{\vec {k}}{\vec {S}}_{n}\end{aligned}}

Hierbei beschreibt $H_{0}$ die Leitungsbandelektronen im s-Band mit Dispersions-Relation $\epsilon ({\vec {k}})$ . $H_{J}$ beschreibt die Wechselwirkung der magnetischen Störstellen – beschrieben über die lokalisierten Spins ${\vec {S}}_{n}$ am Platz ${\vec {R}}_{n}$ mit den Leitungsbandelektronen. Die Wechselwirkung ist dabei eine reine Spin-Spin-Wechselwirkung mit den Spins ${\vec {s}}_{\vec {k}}$ der Leitungsbandelektronen, welche je nach Vorzeichen von $J$ ferromagnetisch oder anti-ferromagnetisch sein kann.

Ergebnisse der Störungstheorie

Das Kondo-Modell weist bei anti-ferromagnetischer Kopplung (negatives J) in Störungstheorie 3. Ordnung einen logarithmischen Term im elektrischen Widerstand auf.

{\begin{aligned}\rho _{\text{Kondo}}(T)\propto J/\epsilon _{f}\log T\end{aligned}}

Hierbei ist $\epsilon _{f}$ die Fermi-Energie. Dieser logarithmische Term führt also zu einem Anstieg des Widerstandes bei tiefen Temperaturen und kann damit die experimentellen Daten erklären. Allerdings divergiert dieser Term für $T=0$ , was ein unphysikalisches Verhalten beschreibt. Diese Divergenz ist als Kondo-Problem bekannt.

Einzelnachweise

C. Zener: Interaction Between the $d$ Shells in the Transition Metals. In: Phys. Rev. Band 81, 1951, S. 440–444, doi:10.1103/PhysRev.81.440.
T. Kasuya: A Theory of Metallic Ferro- and Antiferromagnetism on Zener’s Model. In: Progress of Theoretical Physics. Band 16, 1956, S. 45–57, doi:10.1143/PTP.16.45.
J. Kondo: Resistance minimum in dilute magnetic alloys. In: Progress of Theoretical Physics. Band 32, 1964, S. 37–49, doi:10.1143/PTP.32.37.

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[1] C. Zener: Interaction Between the $d$ Shells in the Transition Metals. In: Phys. Rev. Band 81, 1951, S. 440–444, doi:10.1103/PhysRev.81.440.

[2] T. Kasuya: A Theory of Metallic Ferro- and Antiferromagnetism on Zener’s Model. In: Progress of Theoretical Physics. Band 16, 1956, S. 45–57, doi:10.1143/PTP.16.45.

[3] J. Kondo: Resistance minimum in dilute magnetic alloys. In: Progress of Theoretical Physics. Band 32, 1964, S. 37–49, doi:10.1143/PTP.32.37.