Komplexprodukt

Das Komplexprodukt, meist einfach Produkt genannt, ist ein Begriff aus einem mathematischen Teilgebiet, der Gruppentheorie.

Ist $(M,\cdot )$ ein Magma (zum Beispiel eine Gruppe) und sind $X$ und $Y$ Teilmengen von $M$ , dann ist das Komplexprodukt von $X$ mit $Y$ definiert als

X\cdot Y:=\{x\cdot y\mid x\in X,y\in Y\}

.

Es sind außerdem die Kurzschreibweisen

{\begin{aligned}XY&:=X\cdot Y\\xY&:=\{x\}\cdot Y\\Xy&:=X\cdot \{y\}\end{aligned}}

üblich, wobei $x,y$ Elemente des Magmas sind.

Weil das Komplexprodukt auf den Teilmengen von $M$ eine innere Verknüpfung definiert, macht es die Potenzmenge $P(M)$ selbst zum Magma.

Eigenschaften

Ist das Magma M assoziativ (solche Magmen nennt man Halbgruppen), so ist auch $P(M)$ mit dem Komplexprodukt assoziativ (also eine Halbgruppe).
Ist das Magma M kommutativ, so ist auch $P(M)$ mit dem Komplexprodukt kommutativ.
Ist das Magma M ein Monoid, so ist auch $P(M)$ mit dem Komplexprodukt ein Monoid. Das neutrale Element ist $\{e\}$ , wobei $e\in M$ das neutrale Element von $M$ ist.
Ist das Magma M eine Gruppe, so ist $P(M)$ mit dem Komplexprodukt jedoch keine Gruppe, sondern nur ein Monoid. Dies sieht man zum Beispiel daran, dass die leere Menge in $P(M)$ absorbierend ist.
Das Komplexprodukt $UV$ zweier Untergruppen $U$ und $V$ einer Gruppe ist eine Vereinigung von Linksnebenklassen von $V$ und eine Vereinigung von Rechtsnebenklassen von $U$ :

UV=\bigcup _{u\in U}uV=\bigcup _{v\in V}Uv

Sind $U$ und $V$ endliche Untergruppen einer Gruppe, dann gilt für die Mächtigkeit des Komplexprodukts die Gleichung

|UV|={\frac {|U|\cdot |V|}{|U\cap V|}}

Das Komplexprodukt eines Normalteilers mit einer Untergruppe einer Gruppe ergibt eine Untergruppe. Genauer gesagt gilt für alle Untergruppen $U$ und $V$ , dass $UV$ genau dann eine Untergruppe ist, wenn $UV=VU$ gilt. Ist $U$ oder $V$ ein Normalteiler, so ist dies erfüllt. Insbesondere ist also in abelschen Gruppen das Komplexprodukt von Untergruppen eine Untergruppe.
Das Komplexprodukt von Nebenklassen $gN$ und $hN$ eines Normalteilers $N$ ist $gN\cdot hN=(gh)N$ . Mit diesem Produkt bilden die Nebenklassen von Normalteilern eine Gruppe, die Faktorgruppe von $G$ nach $N$ .
Ist $N$ Normalteiler und $U$ Untergruppe von $G$ , die die Eigenschaften $N\cap U=\{e\}$ und $N\cdot U=G$ haben, dann ist $G$ das innere semidirekte Produkt von $N$ mit $U$ . Zur Existenz einer solchen Untergruppe bei gegebenem Normalteiler sei auf den Satz von Schur-Zassenhaus verwiesen.

Literatur

Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. print. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9

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