Komplexifizierung

Sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Die Komplexifizierung von ${\displaystyle V}$ ist die direkte Summe

${\displaystyle V_{\mathbb {C} }=V\oplus V=V\times V.}$

Auf dem neuen Raum wird die Addition komponentenweise

${\displaystyle (x,\,y)+(x',\,y')=(x+x',\,y+y')}$

und die Skalarmultiplikation mit ${\displaystyle \alpha +\beta i\in \mathbb {C} }$ durch

${\displaystyle (\alpha +\beta i)(x,\,y)=\left(\alpha x-\beta y,\,\beta x+\alpha y\right)}$

definiert.

Dies macht ${\displaystyle V_{\mathbb {C} }}$ zu einem Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

In Analogie zur Schreibweise komplexer Zahlen schreibt man für das Paar ${\displaystyle (x,y)\in V_{\mathbb {C} }}$ auch ${\displaystyle x+yi}$.

Man kann die Komplexifizierung auch durch das Tensorprodukt definieren:

${\displaystyle V_{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$.

Dann ist die Skalarmultiplikation mit ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ durch ${\displaystyle \operatorname {id} \otimes a}$ gegeben, d. h., für ${\displaystyle x\otimes b\in V_{\mathbb {C} }}$ mit ${\displaystyle x\in V}$ und ${\displaystyle b\in \mathbb {C} }$ gilt

${\displaystyle a(x\otimes b)=x\otimes (ab)}$.

Jede ${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon V\rightarrow W}$ liefert eine ${\displaystyle \mathbb {C} }$-lineare Abbildung ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }\colon V_{\mathbb {C} }\rightarrow W_{\mathbb {C} }}$ definiert durch

${\displaystyle f_{\mathbb {C} }(x+yi)=f(x)+f(y)i.}$

Für die komplexifizierte Abbildung ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }\colon V_{\mathbb {C} }\rightarrow W_{\mathbb {C} }}$ gilt:

• ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }({\overline {z}})={\overline {f_{\mathbb {C} }(z)}}}$ für alle ${\displaystyle z\in V_{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle (\operatorname {Id} _{V})_{\mathbb {C} }=\operatorname {Id} _{(V_{\mathbb {C} })}}$
• ${\displaystyle (f\circ g)_{\mathbb {C} }=f_{\mathbb {C} }\circ g_{\mathbb {C} }}$
• Die darstellende Matrix von ${\displaystyle f}$ bezüglich der Basis ${\displaystyle (x_{j})}$ ist gleich der darstellenden Matrix von ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }}$ bezüglich der Basis ${\displaystyle (x_{j}+0i)}$.

Ist die zu betrachtende lineare Abbildung ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }\colon V_{\mathbb {C} }\rightarrow V_{\mathbb {C} }}$ ein Endomorphismus, dann gilt außerdem:

• ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }}$ haben dasselbe charakteristisches Polynom.
• ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }}$ hat alle Eigenwerte von ${\displaystyle f}$.

Komplexifizierte Matrizen sind häufig einfacher zu beschreiben, als das reelle Original. So ist zum Beispiel jede komplexe Matrix trigonalisierbar, wobei die oben erwähnten normalen Matrizen sich sogar diagonalisieren lassen.

Zu einer Bilinearform ${\displaystyle \Phi \colon V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$ gibt es eine Sesquilinearform ${\displaystyle \Phi _{\mathbb {C} }\colon V_{\mathbb {C} }\times V_{\mathbb {C} }\rightarrow \mathbb {C} }$ gegeben durch

${\displaystyle \Phi _{\mathbb {C} }(x+yi,x'+y'i)=\Phi (x,x')+\Phi (y,y')+i(\Phi (y,x')-\Phi (x,y')).}$

Es gilt ${\displaystyle \Phi _{\mathbb {C} |V\times V}=\Phi }$, die Einschränkung von ${\displaystyle \Phi _{\mathbb {C} }}$ auf ${\displaystyle V\times V}$ ist also wieder ${\displaystyle \Phi }$.

• Die Form ${\displaystyle \Phi }$ ist genau dann ein reelles Skalarprodukt, wenn ${\displaystyle \Phi _{\mathbb {C} }}$ ein komplexes Skalarprodukt ist. Da das komplexe Skalarprodukt einfacher zu beschreiben ist als das reelle, komplexifiziert man es, um dann im komplexen Raum weiterzuarbeiten.

• Ist V euklidisch mit Skalarprodukt ${\displaystyle \Phi }$ und ${\displaystyle V_{\mathbb {C} }}$ der dazugehörige unitäre Vektorraum mit Skalarprodukt ${\displaystyle \Phi _{\mathbb {C} }}$ so gilt ${\displaystyle (f^{*})_{\mathbb {C} }=(f_{\mathbb {C} })^{*}}$. Das heißt, die Operation der Komplexifizierung der Adjunktion können vertauscht werden. Daraus folgt, dass die Komplexifizierung gewisse Eigenschaften einer linearen Abbildung erhält. Die Abbildung ${\displaystyle f\colon V\rightarrow V}$ hat also genau dann eine der folgenden Eigenschaften, wenn auch ${\displaystyle f_{\mathbb {C} }\colon V_{\mathbb {C} }\rightarrow V_{\mathbb {C} }}$ sie hat:
  • normal ${\displaystyle (ff^{*}=f^{*}f)}$
  • selbstadjungiert ${\displaystyle (f=f^{*})}$
  • schiefsymmetrisch ${\displaystyle (f=-f^{*})}$
  • Isometrie ${\displaystyle (ff^{*}=\operatorname {Id} )}$

Es sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine Lie-Algebra über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Die Komplexifizierung der Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ist die Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$, die analog zum komplexifizierten Vektorraum durch

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }:={\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

definiert ist.

Auch die Komplexifizierung einer Lie-Algebra kann als Erweiterung des zugrundeliegenden Körpers der Lie-Algebra von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ auf den Körper ${\displaystyle \mathbb {C} }$ aufgefasst werden. Ein Element der Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$ kann als Paar ${\displaystyle (u,v)}$ mit ${\displaystyle u,v\in {\mathfrak {g}}}$ verstanden werden. Die Operationen auf ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$ sind dann definiert durch

${\displaystyle {\begin{aligned}&(u_{1},v_{1})+(u_{2},v_{2}):=(u_{1}+u_{2},v_{1}+v_{2})\\&(\alpha +i\beta )(u_{1},v_{1}):=(\alpha u_{1}-\beta v_{1},\alpha v_{1}+\beta u_{1})\quad {\text{und}}\\&\left[(u_{1},v_{1}),(u_{2},v_{2})\right]:=(\left[u_{1},u_{2}\right]-\left[v_{1},v_{2}\right],\left[v_{1},u_{2}\right]+\left[u_{1},v_{2}\right]),\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle u_{1},u_{2},v_{1},v_{2}\in {\mathfrak {g}}}$ gilt. Außerdem ist ${\displaystyle +}$ die Addition und ${\displaystyle \left[.,.\right]}$ die Lie-Klammer in der Lie-Algebra.

• Die Komplexifizierung von ${\displaystyle \mathrm {sl} (n,\mathbb {R} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {R} ):\mathrm {Tr} (A)=0\right\}}$ ist ${\displaystyle \mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} ):\mathrm {Tr} (A)=0\right\}}$.
• Die Cartan-Zerlegung ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ hat für ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )}$ die Gestalt

${\displaystyle {\mathfrak {k}}=\left\{A\in \mathrm {sl} (n,\mathbb {C} ):A{\text{ schiefhermitesch}}\right\},{\mathfrak {p}}=\left\{A\in \mathrm {sl} (n,\mathbb {C} ):A{\text{ hermitesch}}\right\}}$,

woraus in diesem speziellen Fall ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=i{\mathfrak {k}}}$ und damit ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }={\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}}$ folgt.