Komplanarität

In der linearen Algebra bedeutet Komplanarität bei Vektoren eines Vektorraums, dass der von diesen Vektoren aufgespannte Untervektorraum die Dimension 2 hat. Zur Untersuchung der Komplanarität von Vektoren kann eine Komplanaritätsuntersuchung durchgeführt werden. Gegeben seien drei Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{n}}$. Für die Komplanarität muss die Gleichung ${\displaystyle \alpha {\vec {a}}+\beta {\vec {b}}+\gamma {\vec {c}}={\vec {0}}}$ mit ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R} }$ erfüllbar sein, wobei ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ nicht gleichzeitig 0 sein dürfen. Die Lösung lässt sich mittels eines linearen Gleichungssystems mit n Gleichungen und den Lösungsvariablen ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ermitteln.[3]

Entstammen die Vektoren einem dreidimensionalen Vektorraum, so lässt sich diese Prüfung mit dem Spatprodukt durchführen: Die Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ sind komplanar wenn ihr Spatprodukt ${\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=0}$ ist. Auch gilt, dass ${\displaystyle \det({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=0}$.

Beispiel als Konstruktion
Die drei Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}$ und ${\displaystyle {\vec {c}}}$ liegen auf der Ebene ${\displaystyle \mathrm {E(0,C,A} )}$ und sind somit komplanar.

Drei Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}},{\vec {b}}={\begin{pmatrix}2\\6\\7\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {\vec {c}}={\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}}}$ sollen auf Komplanarität untersucht werden.

Ansatz:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}}=r\cdot {\begin{pmatrix}2\\6\\7\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}}}$ mit ${\displaystyle r,s\in \mathbb {R} }$

Aus dem Ansatz folgt das lineare Gleichungssystem:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}2r+2s&=&2\\6r+0s&=&4\\7r+4s&=&6\end{Bmatrix}}\Leftrightarrow {\begin{Bmatrix}2r+2s&=&2&(I)\\r&=&{\frac {2}{3}}&(II)\\7r+4s&=&6&(III)\end{Bmatrix}}}$

Einsetzen des Ergebnisses für r in Gleichung (I) ergibt:

${\displaystyle 2\cdot {\frac {2}{3}}+2s=2\Leftrightarrow 2s=2-{\frac {4}{3}}\Leftrightarrow 2s={\frac {2}{3}}\Leftrightarrow s={\frac {1}{3}}}$

Gleichung (III) ist für ${\displaystyle r={\frac {2}{3}}}$ und ${\displaystyle s={\frac {1}{3}}}$ erfüllt:

${\displaystyle 7\cdot {\frac {2}{3}}+4\cdot {\frac {1}{3}}=6\Leftrightarrow {\frac {14}{3}}+{\frac {4}{3}}=6\Leftrightarrow {\frac {18}{3}}=6\Leftrightarrow 6=6}$

${\displaystyle {\vec {a}}}$ ist durch eine Linearkombination von ${\displaystyle {\vec {b}}}$ und ${\displaystyle {\vec {c}}}$ darstellbar:

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {2}{3}}\cdot {\vec {b}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\vec {c}}}$

und es gilt:

${\displaystyle 1\cdot {\vec {a}}-{\frac {2}{3}}\cdot {\vec {b}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\vec {c}}={\vec {0}}}$

Somit sind ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$ und ${\displaystyle {\vec {c}}}$ komplanar.

Kollineare Vektoren sind immer auch komplanar, es gibt unendlich viele Ebenen, in denen sie liegen können. Ersetzt man zum Beispiel den obigen Vektor ${\displaystyle {\vec {b}}}$ durch ${\displaystyle {\vec {d}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}}$, dann sind die Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}}$ und ${\displaystyle {\vec {d}}}$ kollinear. Eine Komplanaritätsuntersuchung der 3 Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {d}}}$ und ${\displaystyle {\vec {c}}}$ nach obigem Vorbild ergibt dann s = 0 und r = 2 als Lösungen des neuen Gleichungssystems, woraus die Kollinearität der beiden Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}}$ und ${\displaystyle {\vec {d}}}$ folgt. Versucht man dagegen den Vektor ${\displaystyle {\vec {c}}}$ als Linearkombination der beiden anderen darzustellen, so sieht man auch ohne Rechnung, dass dies unmöglich ist, da diese beiden Vektoren keine Basis des durch ${\displaystyle {\vec {a}}}$ und ${\displaystyle {\vec {b}}}$ erzeugten zweidimensionalen Vektorraums sind.

Komplanaritätsuntersuchungen werden häufig bei der Ermittlung der Lagebeziehungen zwischen Geraden oder Geraden und Ebenen durchgeführt.

In der Chemie ist z. B. bei Kongeneren von polychlorierten Biphenylen (PCB) die Coplanarität ein wichtiges Kriterium für deren Toxizität: Coplanare bzw. dioxinähnliche PCB sind deutlich toxischer.[4]

1. Chr. Dürr und andere: Analytische Geometrie Leistungskurs. Volk und Wissen Verlag, Berlin 1998, ISBN 978-3-06-001173-5, S. 78.
2. Chr. Dürr und andere: Analytische Geometrie Leistungskurs. Volk und Wissen Verlag, Berlin 1998, ISBN 978-3-06-001173-5, S. 55.
3. H. Krämer, R. Höwelmann, I. Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Algebra. Verlag Moritz Diesterweg, Frankfurt am Main 1989, ISBN 3-425-05301-9, S. 75 – 82.
4. Chlorierte Biphenyle [MAK Value Documentation in German language, 2013]. In: The MAK-Collection for Occupational Health and Safety. Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim 2013, ISBN 978-3-527-60041-0, S. 1–139, doi:10.1002/3527600418.mb0cbphpcbd0055.