Kompakte Lie-Gruppe

Kompakte Lie-Gruppen und ihre Darstellungstheorie sind in vielen Bereichen der Mathematik und Physik von Bedeutung.

Der Kreis mit Mittelpunkt 0 und Radius 1 in der komplexen Zahlenebene ist eine Lie-Gruppe mit komplexer Multiplikation. Er ist kompakt, weil er eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge der Ebene ist.

Definition

Eine kompakte Lie-Gruppe ist eine Lie-Gruppe, die mit der zugrundeliegenden Topologie ein kompakter Hausdorffraum ist.

Klassifikation

Jede einfache, zusammenhängende und einfach zusammenhängende, kompakte Lie-Gruppe ist eine der folgenden:

symplektische Gruppe $Sp(n),n\geq 1$ ,
spezielle unitäre Gruppe $SU(n),n\geq 3$ ,
Spin-Gruppe $Spin(n),n\geq 7$ ,
die kompakte reelle Form einer der exzeptionellen Lie-Gruppen $G_{2},F_{4},E_{6},E_{7},E_{8}$ .

Jede zusammenhängende und einfach zusammenhängende, kompakte Lie-Gruppe ist ein Produkt einfacher, zusammenhängender und einfach zusammenhängender, kompakter Lie-Gruppen.

Jede zusammenhängende, kompakte Lie-Gruppe $G$ hat eine zentrale Erweiterung

1\to A\to {\widetilde {G}}\to G\to 1

,

wobei $A$ eine endliche abelsche Gruppe und ${\widetilde {G}}=T^{m}\times K$ das Produkt eines Torus mit einer zusammenhängenden und einfach zusammenhängenden, kompakten Lie-Gruppe $K$ ist.

Eine kompakte Gruppe hat endlich viele Zusammenhangskomponenten, sie ist also eine endliche Erweiterung ihrer Einheitskomponente $G_{0}$ .

Literatur

Mark Sepanski: Compact Lie Groups, Springer Verlag 2007. ISBN 978-0387302638

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