Komonade

Eine Komonade ist ein Tripel ${\displaystyle (T,\varepsilon ,\psi )}$ bestehend aus

• einem Endofunktor ${\displaystyle T\colon C\to C}$,
• einer natürlichen Transformation ${\displaystyle \varepsilon \colon T\to 1_{C}}$ und
• einer natürlichen Transformation ${\displaystyle \psi \colon T\to T^{2}}$,

das folgende Bedingungen erfüllt:

• ${\displaystyle T\psi \circ \psi =\psi T\circ \psi }$ und
• ${\displaystyle \varepsilon T\circ \psi =T\varepsilon \circ \psi =1_{T}}$.

Explizit auf der Ebene von Morphismen von ${\displaystyle C}$ bedeutet dies, dass für jedes Objekt ${\displaystyle X}$ aus ${\displaystyle C}$ gilt

• ${\displaystyle T(\psi _{X})\circ \psi _{X}=\psi _{T(X)}\circ \psi _{X}}$ und
• ${\displaystyle \varepsilon _{T(X)}\circ \psi _{X}=T(\varepsilon _{X})\circ \psi _{X}=1_{T(X)}}$.

Eine Koalgebra für eine Komonade ${\displaystyle (T,\varepsilon ,\psi )}$ auf einer Kategorie ${\displaystyle C}$ ist ein Paar ${\displaystyle (X,\alpha )}$ bestehend aus einem Objekt ${\displaystyle X}$ von ${\displaystyle C}$ und einem Morphismus ${\displaystyle \alpha \colon X\to TX}$, so dass ${\displaystyle T\alpha \circ \alpha =\psi _{X}\circ \alpha }$ und ${\displaystyle \varepsilon _{X}\circ \alpha =1_{X}}$. Ein Homomorphismus von Koalgebren ${\displaystyle (X,\alpha )\to (Y,\beta )}$ ist ein Morphismus ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ in ${\displaystyle C}$, der ${\displaystyle Tf\circ \alpha =\beta \circ f}$ erfüllt. Die Koalgebren bilden eine Kategorie ${\displaystyle C^{T}}$.

Es gibt einen kanonischen Funktor ${\displaystyle A_{T}\colon C\to C^{T}}$, der auf Objekten ${\displaystyle X\mapsto (TX,\psi _{X})}$ ist. Er ist rechtsadjungiert zum Vergissfunktor ${\displaystyle U_{T}\colon C^{T}\to C}$.

Es seien ${\displaystyle C,D}$ Kategorien und ${\displaystyle F\colon C\to D}$, ${\displaystyle G\colon D\to C}$ Funktoren, so dass ${\displaystyle F}$ rechtsadjungiert zu ${\displaystyle G}$ ist. Eins bzw. Koeins der Adjunktion seien ${\displaystyle \eta \colon 1\to FG}$ bzw. ${\displaystyle \varepsilon \colon GF\to 1}$. Dann ist ${\displaystyle T=(GF,\varepsilon ,G\eta F)}$ eine Komonade auf ${\displaystyle C}$.

Man erhält einen induzierten Funktor ${\displaystyle A\colon D\to C^{T}}$, so dass ${\displaystyle U_{T}\circ A=G}$ und ${\displaystyle A\circ F=A_{T}}$ gilt. Der Funktor ${\displaystyle G}$ heißt komonadisch, wenn ${\displaystyle A}$ eine Äquivalenz von Kategorien ist. Der Monadizitätssatz von Jonathan Mock Beck gibt Kriterien dafür an, wann ein Funktor komonadisch ist.

Ist ${\displaystyle T}$ eine Komonade auf einer Kategorie ${\displaystyle C}$, dann ist die zum adjungierten Funktorpaar ${\displaystyle (U_{T}\colon C^{T}\to C,A_{T}\colon C\to C^{T})}$ assoziierte Komonade wieder ${\displaystyle T}$.

In der Kategorie Set sei der Endofunktor ${\displaystyle T}$ derjenige der Bildung von ${\displaystyle \mathbb {N} }$-indizierten Folgen, d. h. für jede Menge ${\displaystyle X}$ ist ${\displaystyle T(X)=X^{\mathbb {N} }}$, und für Mengen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ sowie Abbildungen ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ist ${\displaystyle T(f)\colon A^{\mathbb {N} }\to B^{\mathbb {N} }}$ gegeben durch ${\displaystyle T(f)(s):=f\circ s}$.

Die natürlichen Transformationen ${\displaystyle \varepsilon }$ und ${\displaystyle \psi }$ seien durch die Familien von Abbildungen ${\displaystyle \varepsilon _{X}}$ und ${\displaystyle \psi _{X}}$,

• ${\displaystyle \varepsilon _{X}\colon X^{\mathbb {N} }\to X,\varepsilon _{X}(s):=s(0)}$
• ${\displaystyle \psi _{X}\colon X^{\mathbb {N} }\to (X^{\mathbb {N} })^{\mathbb {N} },\psi _{X}(s)(n)(m):=s(n+m)}$

für beliebige Mengen ${\displaystyle X}$ gegeben.

Das Tripel ${\displaystyle (T,\varepsilon ,\psi )}$ ist nun eine Komonade in Set.

Die Koalgebren für ${\displaystyle (T,\varepsilon ,\psi )}$ sind die Abbildungen ${\displaystyle \alpha \colon X\to X^{\mathbb {N} }}$, die ${\displaystyle \alpha (x)(0)=x}$ und ${\displaystyle \alpha (x)(n+m)=\alpha (\alpha (x)(n))(m)}$ erfüllen. Mit ${\displaystyle \alpha _{1}\colon X\to X}$, ${\displaystyle x\mapsto \alpha (x)(1)}$ ist ${\displaystyle \alpha (x)(n)=\alpha _{1}^{n}(x)}$, und man kann die Koalgebren mit Paaren ${\displaystyle (X,\alpha _{1})}$ mit einer beliebigen Abbildung ${\displaystyle \alpha _{1}\colon X\to X}$ identifizieren.

Ist ${\displaystyle M}$ eine beliebige Menge, dann entsprechen Komonadenstrukturen auf ${\displaystyle T(X)=X^{M}}$ bijektiv den Monoidstrukturen auf ${\displaystyle M}$. Die Multiplikation auf ${\displaystyle M}$ ist ${\displaystyle \psi _{M}(1_{M})\in (M^{M})^{M}}$. Für ein Monoid ${\displaystyle M}$ kann die Strukturabbildung ${\displaystyle X\to X^{M}}$ einer Koalgebra unter dem Potenzgesetz ${\displaystyle (A^{B})^{C}=A^{B\times C}=(A^{C})^{B}}$ mit anderen Abbildungen identifiziert werden:

• einer Abbildung ${\displaystyle X\times M\to X}$, die eine Algebra für die Monade ${\displaystyle T^{*}(X)=X\times M}$ ist
• einem Monoidhomomorphismus ${\displaystyle M\to X^{X}}$, d. h. einer Operation von ${\displaystyle M}$ auf ${\displaystyle X}$.

• Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag, Berlin 1971. ISBN 3-540-90035-7