Von-Neumann-Algebra

Eine Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ (benannt nach John von Neumann) oder (mittlerweile veraltet) ein Ring von Operatoren ist eine *-Unteralgebra mit Eins der Algebra ${\displaystyle L\left(H\right)}$ der beschränkten linearen Operatoren eines Hilbertraums ${\displaystyle H}$, die eine (und damit alle) der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• ${\displaystyle A=A''}$.
• ${\displaystyle A}$ ist abgeschlossen in der starken Operatortopologie.
• ${\displaystyle A}$ ist abgeschlossen in der schwachen Operatortopologie.

Hierbei ist ${\displaystyle A':={\bigl \{}x\in L(H)\,|\,\forall a\in A:\,xa=ax{\bigr \}}}$ die Kommutante von ${\displaystyle A}$ und entsprechend ${\displaystyle A''}$ die Kommutante von ${\displaystyle A'}$.

Die Äquivalenz der drei obigen Aussagen nennt man den von Neumannschen Doppelkommutantensatz oder Bikommutantensatz. Diese Aussage kann wie folgt verschärft werden:

• Ist ${\displaystyle A\subset L(H)}$ eine *-Unteralgebra mit Eins, so ist ${\displaystyle A''}$ der Abschluss von ${\displaystyle A}$ sowohl in der schwachen als auch in der starken Operatortopologie.

Auch diese Formulierung, die eine Äquivalenz zwischen der rein algebraischen Kommutanten-Bildung und der rein topologischen Dichte-Beziehung bzw. Abschluss-Bildung herstellt, wird als Bikommutantensatz bezeichnet. Damit erweist sich der Bikommutantensatz als ein Dichtheitssatz. Zusammen mit dem weiteren Dichtheitssatz von Kaplansky stellt er den Ausgangspunkt der Theorie der Von-Neumann-Algebren dar.

Eine Von-Neumann-Algebra kann nach einem Satz von Shōichirō Sakai auch abstrakt ohne einen zugrundeliegenden Hilbertraum definiert werden:

• Eine Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ ist eine C*-Algebra, die der topologische Dualraum eines Banachraums ${\displaystyle A_{\star }}$ ist.

Die Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ heißt Faktor, falls sie eine der beiden folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• ${\displaystyle A\cap A'=\mathbb {C} \cdot 1_{H}}$.
• ${\displaystyle A\cup A'}$ erzeugt ${\displaystyle L\left(H\right)}$.

Da ${\displaystyle A\cap A'}$ die Menge der Operatoren aus ${\displaystyle A}$ ist, die mit allen Operatoren aus ${\displaystyle A}$ kommutieren, ist ${\displaystyle A\cap A'}$ das Zentrum von ${\displaystyle A}$. Faktoren sind daher die Von-Neumann-Algebren mit kleinst möglichem Zentrum. Man kann Von-Neumann-Algebren als direktes Integral (eine Verallgemeinerung der direkten Summe) von Faktoren darstellen, das heißt, Von-Neumann-Algebren sind in diesem Sinne aus Faktoren zusammengesetzt.

${\displaystyle L\left(H\right)}$ und ${\displaystyle \mathbb {C} \cdot 1_{H}}$ sind Beispiele für Faktoren. Mit ${\displaystyle A}$ ist auch ${\displaystyle A'}$ ein Faktor; offenbar gilt ${\displaystyle L\left(H\right)'=\mathbb {C} \cdot 1_{H}}$ und ${\displaystyle (\mathbb {C} \cdot 1_{H})'=L\left(H\right)}$.

Bei den Faktoren können 3 Typen, die Typ I, Typ II und Typ III heißen, unterschieden werden.

Sei ${\displaystyle (X,{\mathfrak {X}},\mu )}$ ein ${\displaystyle \sigma }$-endlicher Maßraum. Dann ist ${\displaystyle H=}$ L²${\displaystyle (X,{\mathfrak {X}},\mu )}$ ein Hilbertraum, und jede wesentlich beschränkte Funktion ${\displaystyle f\in L^{\infty }(X,{\mathfrak {X}},\mu )}$ definiert via Multiplikation einen Operator ${\displaystyle M_{f}\in L(H),M_{f}(g):=f\cdot g}$. Die Menge aller ${\displaystyle M_{f}}$ ist eine kommutative Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subset L(H)}$, und die Abbildung ${\displaystyle f\mapsto M_{f}}$ ist ein *-Isomorphismus ${\displaystyle L^{\infty }(X,{\mathfrak {X}},\mu )\to {\mathcal {M}}}$. Man kann ${\displaystyle {\mathcal {M}}'={\mathcal {M}}}$ zeigen, das heißt, die Algebra ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ stimmt mit ihrem Kommutanten überein. Keine echte Oberalgebra kann daher kommutativ sein, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ist also eine maximale kommutative Von-Neumann-Algebra.

Betrachtet man speziell den Maßraum ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}},\lambda )}$ (Einheitsintervall mit dem Lebesgue-Maß), so kann man zeigen, dass der Bikommutant von ${\displaystyle \{M_{f};\,f\in C([0,1])\}}$ mit ${\displaystyle {\mathcal {M}}\cong L^{\infty }([0,1])}$ zusammenfällt. Der Übergang vom topologischen Konstrukt ${\displaystyle C([0,1])}$ zum maßtheoretischen Konstrukt ${\displaystyle L^{\infty }([0,1])}$ entspricht dem Übergang von C*-Algebren zu Von-Neumann-Algebren. Während man bei C*-Algebren wegen des Satzes von Gelfand-Neumark von nicht-kommutativer Topologie spricht, gibt die hier angestellte Betrachtung Anlass, eine Von-Neumann-Algebra als einen nicht-kommutativen Maßraum anzusehen, man spricht daher auch von nicht-kommutativer Maßtheorie.

Jede Von-Neumann-Algebra ist eine C*-Algebra und somit auch eine Banachalgebra.

Wie sich aus dem beschränkten Borel-Funktionalkalkül ergibt, enthalten Von-Neumann-Algebren sehr viele Orthogonalprojektionen; jeder Operator ist in der Normtopologie Limes von Linearkombinationen von Orthogonalprojektionen. Dies ist ein wesentlicher Unterschied zu den C*-Algebren, die, wie das Beispiel C([0,1]) zeigt, neben 0 und 1 keine weiteren Projektionen enthalten müssen. Man kann aus der Menge der Projektionen einen Verband konstruieren; die Struktur dieses Verbandes wird zur Typklassifikation der Von-Neumann-Algebren herangezogen.

• Typ I Von-Neumann-Algebra
• Typ II Von-Neumann-Algebra
• Typ III Von-Neumann-Algebra
• Tomita-Takesaki-Theorie

• Jacques Dixmier: Von Neumann algebras, North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7.
• R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Band I und II, Academic Press 1983, ISBN 0-123-93301-3 bzw. 1986, ISBN 0-123-93302-1
• Shôichirô Sakai: C*-Algebras and W*-Algebras, Springer, Berlin u. a. 1971 (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band. 60) ISBN 3-540-05347-6 (Nachdruck. ebenda 1998, ISBN 3-540-63633-1).
• Jacob T. Schwartz: W*-Algebras. Gordon & Breach, New York NY u. a. 1967.

1. F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators. Ann. of Math. (2), Band 37, 1936, Seiten 116–229.
2. F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators II. Trans. Amer. Math. Soc., Band 41, 1937, Seiten 208–248
3. F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators IV. Ann. of Math. (2), Band 44, 1943, Seiten 716–808.
4. Newsletter of the EMS, Juni 2009, Interview mit Jacques Dixmier, Seite 36