Kohomologie mit Koeffizienten

Sei

${\displaystyle 0\leftarrow K_{0}\leftarrow K_{1}\leftarrow K_{2}\leftarrow K_{3}\leftarrow \ldots }$

ein Kettenkomplex und ${\displaystyle G}$ eine abelsche Gruppe. Als Kohomologie mit Koeffizienten in ${\displaystyle G}$ bezeichnet man die Homologie des Kokettenkomplexes

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} (K_{0},G)\rightarrow \operatorname {Hom} (K_{1},G)\rightarrow \operatorname {Hom} (K_{2},G)\rightarrow \operatorname {Hom} (K_{3},G)\rightarrow \ldots }$.

Für ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ erhält man die Kohomologie des Kettenkomplexes.

Für einen topologischen Raum ${\displaystyle X}$ bezeichnet man mit ${\displaystyle H^{*}(X,G)}$ die Kohomologie des singulären Kettenkomplexes mit Koeffizienten in ${\displaystyle G}$. Für ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ erhält man die singuläre Kohomologie.

Für einen Simplizialkomplex ${\displaystyle S}$ bezeichnet man mit ${\displaystyle H^{*}(S,G)}$ die Kohomologie des simplizialen Kettenkomplexes mit Koeffizienten in ${\displaystyle G}$. Für ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ erhält man die simpliziale Kohomologie.

Sei ${\displaystyle K}$ der Kettenkomplex

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \to 0}$,

wobei die mittlere Abbildung ${\displaystyle f(x)=2x}$ und alle anderen Abbildungen konstant ${\displaystyle 0}$ seien. Die Homologiegruppen sind

${\displaystyle H_{0}(K)=\mathbb {Z} ,H_{1}(K)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,H_{2}(K)=0,H_{3}(K)=\mathbb {Z} }$.

Die Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ sind

${\displaystyle H^{0}(K)=\mathbb {Z} ,H^{1}(K)=0,H^{2}(K)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,H^{3}(K)=\mathbb {Z} }$.

Die Kohomologiegruppen mit Koeffizienten in ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ sind

${\displaystyle H^{0}(K,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,H^{1}(K,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,H^{2}(K,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,H^{3}(K,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

Die Kohomologie mit Koeffizienten kann aus der klassischen Homologie mit Hilfe des universellen Koeffizientensatzes, nach dem

${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(H_{n-1}(X),G)\to H^{n}(X;G)\to \operatorname {Hom} (H_{n}(X),G)\to 0}$

eine kurze exakte Folge ist, berechnet werden.

• A. Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge: Cambridge University Press (ISBN 0-521-79540-0/pbk) 2002.