Kohärente Garbe

Es sei ${\displaystyle X}$ ein geringter Raum, d. h. ein topologischer Raum zusammen mit einer Garbe ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ von Ringen. Dann heißt eine ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-Modulgarbe ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ kohärent, wenn

1. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ endlich erzeugt ist, d. h. jeder Punkt ${\displaystyle x}$ von ${\displaystyle X}$ hat eine offene Umgebung ${\displaystyle U}$, auf der eine Surjektion ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}^{n}\to {\mathcal {M}}_{|U}}$ existiert, und
2. für jede offene Teilmenge ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle X}$ und jeden Morphismus ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}^{n}\to {\mathcal {M}}_{|U}}$ ist der Kern endlich erzeugt

• Die kohärenten Garben bilden eine abelsche Kategorie, die stabil unter Erweiterungen ist. Das bedeutet insbesondere: Ist

${\displaystyle 0\to {\mathcal {M}}'\to {\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}}''\to 0}$

eine kurze exakte Folge von Modulgarben, und sind zwei der drei Garben kohärent, so ist es auch die dritte.

• Der Träger einer kohärenten Garbe ist abgeschlossen. (Dies gilt allgemeiner für beliebige endlich erzeugte Modulgarben.)

• Ist ${\displaystyle X}$ ein lokal noethersches Schema, so sind die kohärenten Garben gerade diejenigen quasikohärenten Garben, die lokal den endlich erzeugten Moduln entsprechen.
• Kohärenzsatz: Direkte Bilder und höhere direkte Bilder kohärenter Garben unter eigentlichen Morphismen sind kohärent, sofern das Zielschema lokal noethersch ist. Ist insbesondere ${\displaystyle A}$ ein noetherscher Ring und ${\displaystyle X}$ ein eigentliches ${\displaystyle A}$-Schema, so sind die Kohomologiegruppen kohärenter Garben als ${\displaystyle A}$-Moduln endlich erzeugt.

• Kohärenzsatz von Oka: Im Unterschied zur algebraischen Geometrie ist die Tatsache, dass ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ selbst kohärent ist, nicht trivial.
• Direkte Bilder und höhere direkte Bilder kohärenter Garben unter eigentlichen holomorphen Abbildungen sind kohärent.

• Hans Grauert, Reinhold Remmert, Coherent Analytic Sheaves. Springer-Verlag, Berlin 1984. ISBN 3-540-13178-7
  Allgemeines: Anhang, §3; Kohärenz der Strukturgarbe: Kap. 2, §5; direkte Bilder: Kap. 10, §4
• A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)
  Allgemeines: 0_I, 5.3; direkte Bilder: III, 3.2