Koeffizienten für Differenzenquotienten

Die nachfolgende Tabelle enthält die Koeffizienten der zentralen Differenzen für mehrere Genauigkeitsordnungen bei äquidistanten Stützpunkten:[1]

Beispielsweise erhält man für die dritte Ableitung mit einer Genauigkeit zweiter Ordnung

${\displaystyle f'''(x_{0})\approx {\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{1})+{\frac {1}{2}}f(x_{2})}{h_{x}^{3}}}+{\mathcal {O}}\left(h_{x}^{2}\right),}$

wobei ${\displaystyle h_{x}}$ der konstante Abstand zweier benachbarter Gitterpunkte ist und ${\displaystyle x_{n}=x_{0}+nh_{x}}$. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(h_{x}^{2})}$ symbolisiert, dass der Diskretisierungsfehler für kleine ${\displaystyle h_{x}}$ quadratisch mit der Schrittweite fällt.

Für die ${\displaystyle m}$-te Ableitung mit der Genauigkeit ${\displaystyle n}$ gibt es ${\displaystyle 2p+1=2\left\lfloor {\frac {m+1}{2}}\right\rfloor -1+n}$ zentrale Koeffizienten

${\displaystyle a_{-p},a_{-p+1},...,a_{p-1},a_{p}}$.

Diese erhält man, indem man das folgende lineare Gleichungssystem löst:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&...&1&1\\-p&-p+1&...&p-1&p\\(-p)^{2}&(-p+1)^{2}&...&(p-1)^{2}&p^{2}\\...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...\\(-p)^{2p}&(-p+1)^{2p}&...&(p-1)^{2p}&p^{2p}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{-p}\\a_{-p+1}\\a_{-p+2}\\...\\...\\...\\a_{p}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\...\\m!\\...\\0\end{pmatrix}},}$

wobei der einzige Nicht-Null-Wert auf der rechten Seite sich in der ${\displaystyle (m+1)}$-ten Zeile befindet.

Mit dem Open-Source-Programm findiff können Differenzen-Koeffizienten beliebiger Ableitungen und Genauigkeitsordnungen in einer Dimension berechnet werden.[2]

Fünf-Punkte-Stützstellenschema für Vorwärts-Differenzen

Die nachfolgende Tabelle enthält die Koeffizienten der Vorwärts-Differenzen für mehrere Genauigkeitsordnungen bei äquidistanten Stützpunkten:[1]

Beispielsweise erhält man für die erste Ableitung mit einer Genauigkeit dritter Ordnung und die zweite Ableitung mit einer Genauigkeit zweiter Ordnung

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{1})-{\frac {3}{2}}f(x_{2})+{\frac {1}{3}}f(x_{3})}{h_{x}}}+{\mathcal {O}}\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{1})+4f(x_{2})-f(x_{3})}{h_{x}^{2}}}+{\mathcal {O}}\left(h_{x}^{2}\right).}$

Fünf-Punkte-Stützstellenschema für Rückwärts-Differenzen

Die entsprechenden Rückwärtsnäherungen sind gegeben durch

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-3f(x_{-1})+{\frac {11}{6}}f(x_{0})}{h_{x}}}+{\mathcal {O}}\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-f(x_{-3})+4f(x_{-2})-5f(x_{-1})+2f(x_{0})}{h_{x}^{2}}}+{\mathcal {O}}\left(h_{x}^{2}\right).}$

Um die Koeffizienten der Rückwärts-Näherungen aus denen der Vorwärtsnäherungen zu erhalten, sind für alle ungeraden Ableitungen, die in der Tabelle im vorigen Abschnitt aufgeführt sind, die entgegengesetzten Vorzeichen zu setzen, während für gerade Ableitungen die Vorzeichen gleich bleiben. Die folgende Tabelle veranschaulicht dies:[3]

Spezielles Fünf-Punkte-Stützstellenschema für gemischte Differenzen

Für ein beliebiges Stützstellenschema (englisch Stencil, Patterns of grid points[2]) ${\displaystyle \displaystyle s}$, der Anzahl der Gitterpunkte ${\displaystyle \displaystyle N}$ und mit Ordnung der Ableitung ${\displaystyle \displaystyle d<N}$ können die Differenzenkoeffizienten durch Lösen des folgenden linearen Gleichungssystems erhalten werden:[3]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}s_{1}^{0}&\cdots &s_{N}^{0}\\\vdots &\ddots &\vdots \\s_{1}^{N-1}&\cdots &s_{N}^{N-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}=d!{\begin{pmatrix}\delta _{0,d}\\\vdots \\\delta _{i,d}\\\vdots \\\delta _{N-1,d}\end{pmatrix}},}$

wobei ${\displaystyle \delta _{i,j}}$ das Kronecker-Delta symbolisiert, das gleich Eins ist, wenn ${\displaystyle i=j}$ ist und Null sonst.

Hier ein Beispiel für ${\displaystyle s=[-3,-2,-1,0,1]}$, ${\displaystyle N=5}$ und Ordnung der Ableitung ${\displaystyle d=4}$:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\a_{5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\quad 1&\quad 1&\quad 1&\quad 1&\quad 1\\-3&-2&-1&\quad 0&\quad 1\\\quad 9&\quad 4&\quad 1&\quad 0&\quad 1\\-27&-8&-1&\quad 0&\quad 1\\\quad 81&16&\quad 1&\quad 0&\quad 1\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\24\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\quad 1\\-4\\\quad 6\\-4\\\quad 1\end{pmatrix}}.}$

Die Ordnung der Genauigkeit der Näherung hat die übliche Form ${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(h_{x}^{(N-d)}\right)}$.

• Differenzenquotient
• Differenzenrechnung
• Finite-Differenzen-Methode
• Numerische Differentiation

1. Bengt Fornberg: Generation of finite difference formulas on arbitrarily spaced grids. In: Mathematics of Computation. Band 51, Nr. 184, 1988, S. 699–706, doi:10.1090/S0025-5718-1988-0935077-0 (Originalarbeit [PDF; abgerufen am 13. November 2022]).
2. M. Baer: findiff - A Python package for finite difference numerical derivatives in arbitrary number of dimensions. GitHub, abgerufen am 13. November 2022.
3. Cameron Taylor: Finite Difference Coefficients Calculator. MIT, 2016, abgerufen am 13. November 2022.