Knotenkomplement

Kleeblattschlinge

Es sei ${\displaystyle K\subset S^{3}}$ ein Knoten. (Der Fall von Knoten im euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ lässt sich auf den ersten Fall zurückführen, indem man die Einpunktkompaktifizierung ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3})^{*}=S^{3}}$ betrachtet.) Das Komplement des Knotens ${\displaystyle K}$ ist dann die offene Mannigfaltigkeit ${\displaystyle S^{3}\setminus K}$.

Häufig betrachtet man statt der offenen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle S^{3}\setminus K}$ auch die wie folgt konstruierte Mannigfaltigkeit mit Rand. Sei ${\displaystyle N(K)}$ eine Tubenumgebung von ${\displaystyle K}$, also homöomorph zum Volltorus. Dann ist

${\displaystyle X_{K}=S^{3}\setminus int(N(K))}$

eine kompakte 3-Mannigfaltigkeit, deren Rand ein Torus ist.

Analog kann man das Komplement von Verschlingungen definieren.

Die Fundamentalgruppe des Knotenkomplements ist die Knotengruppe, sie kann mit dem Wirtinger-Algorithmus präsentiert werden. Für Primknoten wird das Knotenkomplement durch die Knotengruppe eindeutig bestimmt.[1]

Die Homologiegruppen des Knotenkomplements hängen nicht vom Knoten ab, es gilt

${\displaystyle H_{0}(X_{K})=\mathbb {Z} ,\;H_{1}(X_{K})=\mathbb {Z} ,\;H_{2}(X_{K})=0,\;H_{3}(X_{K})=0}$.

(Weil ${\displaystyle X_{K}}$ und ${\displaystyle S^{3}\setminus K}$ homotopieäquivalent sind, hängen diese Invarianten nicht davon ab, welche der beiden obigen Definitionen verwendet wird.)

Ein von Gordon und Luecke bewiesener Satz besagt, dass Knoten durch ihr Komplement eindeutig bestimmt sind: Wenn ${\displaystyle S^{3}\setminus K_{1}}$ homöomorph zu ${\displaystyle S^{3}\setminus K_{2}}$ ist, dann sind die Knoten ${\displaystyle K_{1}}$ und ${\displaystyle K_{2}}$ isotop.[2] Die entsprechende Aussage für Verschlingungen trifft nicht zu.

• Heinrich Tietze: Über die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten. Monatsh. Math. Phys. 19 (1908), no. 1, 1–118.
• C. McA. Gordon, J. Luecke: Knots are determined by their complements. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 20 (1989), no. 1, 83–87.
• Colin Adams: Das Knotenbuch. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1995, ISBN 3-86025-338-7.

1. Wilbur Whitten: Knot complements and groups. Topology 26 (1987), no. 1, 41–44.
2. C. McA. Gordon, J. Luecke: Knots are determined by their complements. J. Amer. Math. Soc. 2 (1989), no. 2, 371–415.