Knicken

Es gelten die bernoullischen Annahmen in der Stabtheorie II.Ordnung. Für Knickstäbe in der X-Z-Ebene mit X der Stabachse gelten folgende Annahmen:

${\displaystyle \left|{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} X}}\right|\ll 1}$

${\displaystyle \left|{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} Z}}\right|<0{,}1}$

${\displaystyle \left|{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} Z}}\right|^{2}\ll 1}$

${\displaystyle \left|{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} X}}\right|<0{,}1}$

${\displaystyle \left|{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} X}}\right|^{2}\ll 1}$

${\displaystyle \left|\epsilon _{ij}\right|\ll 1\qquad \forall \{i,j\}\in \{x,y,z\}}$

${\displaystyle \left|{\frac {V}{N}}\right|<0{,}1}$

${\displaystyle \left|{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} X}}\,{\frac {V}{N}}\right|\ll 1}$

${\displaystyle \left|{\frac {N}{EA}}\right|\ll 1}$

${\displaystyle \left|{\frac {N}{G{\tilde {A}}}}\right|\ll 1}$

${\displaystyle N<0}$

mit

• ${\displaystyle u}$ … der Verschiebung in Längsrichtung
• ${\displaystyle w}$ … der Verschiebung in Z-Richtung
• ${\displaystyle \varepsilon }$ … den Verzerrungskomponenten
• ${\displaystyle V}$ … der Querkraft bzw. Transversalkraft in Z-Richtung
• ${\displaystyle N}$ … der konstanten Normalkraft in Längsrichtung
• ${\displaystyle EA}$ … der konstanten Dehnsteifigkeit in Längsrichtung
• ${\displaystyle EI}$ … der konstanten Biegesteifigkeit um die Y-Achse
• ${\displaystyle G{\tilde {A}}}$ … der konstanten Schubsteifigkeit in der XZ-Ebene

Daraus folgen die Differentialgleichungen:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{F}(X)}{(\mathrm {d} X)^{4}}}={\frac {\mathcal {N}}{EI}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}w_{\text{tot}}(X)}{(\mathrm {d} X)^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{3}w_{F}(X)}{(\mathrm {d} X)^{3}}}={\frac {\mathcal {N}}{EI}}\,{\frac {\mathrm {d} w_{v}(X)}{\mathrm {d} X}}-{\frac {V}{EI}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}w_{F}(X)}{(\mathrm {d} X)^{2}}}=-{\frac {\mathcal {M_{y}}}{EI}}}$

mit

• ${\displaystyle w_{F}}$ … der lastinduzierten Verformung
• ${\displaystyle w_{v}}$ … der Vorverformung
• ${\displaystyle w_{\text{tot}}=w_{F}+w_{v}}$ … der Gesammtverformung

Die Eulerschen Knickfälle gelten für Stäbe mit konstantem Querschnitt über die ganze Länge. Für jeden dieser Fälle ermittelte er die kritische Druckkraft, bei deren Überschreiten das Knicken eintritt. Hierzu gibt es unterschiedliche Möglichkeiten der Herleitung.[2] Die folgende Herleitung für den sogenannten Eulerfall (2) hat den Vorteil, besonders anschaulich zu sein.[3]

Die ideale Knickdrucklast nach Theorie II.Ordnung ist unabhängig von der gewählten Vorverformung. Mit dem Biegemoment aus der Druckkraft und dem Ausbiegemaximum ${\displaystyle \eta _{0}}$ kann mit der Differentialgleichung der Elastischen Linie die sich einstellende zusätzliche Ausbiegung ${\displaystyle \eta _{1}}$ errechnet werden. Diese ergibt ein weiteres zusätzliches Biegemoment und die weitere zusätzliche Ausbiegung ${\displaystyle \eta _{2}}$. Der Vorgang wiederholt sich unendlich viele Male. Die Gesamt-Ausbiegung ist

${\displaystyle \eta =\eta _{0}+\eta _{1}+\eta _{2}+\eta _{3}+\dots {}}$.

Die jeweils folgende Ausbiegung sei ${\displaystyle \eta _{i}=\alpha _{i}\cdot \eta _{i-1}}$   (mit ${\displaystyle i\geq 1}$) .

Damit folgt

${\displaystyle \alpha =\eta \cdot (1+\alpha _{1}+\alpha _{1}\cdot \alpha _{2}+\alpha _{1}\cdot \alpha _{2}\cdot \alpha _{3}+\dots )}$.

Da die jeweils folgende der vorhergehenden Biegung ähnlich ist (sinusförmig), kann geschrieben werden:

${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\dots {}}$ ,

und mit ${\displaystyle \alpha \leq 1}$

${\displaystyle \eta =\eta _{0}\cdot {\frac {1}{1-\alpha }}}$ .

Diese geometrische Reihe konvergiert. Ihr Summenwert ist endlich groß. Mit anderen Worten: Wenn ${\displaystyle \alpha <1}$, hat die Endausbiegung ${\displaystyle \eta }$ einen endlichen Wert. Bei ${\displaystyle \alpha =1}$ knickt der Stab aus.

${\displaystyle \alpha =1}$  wird Knickbedingung genannt.

Die kritische Druckkraft ${\displaystyle F_{k}}$ bzw. die Eulerkraft errechnet sich wie folgt:

Gleichung für angenommene anfängliche Biegelinie:

${\displaystyle \eta _{0}=a\cdot \sin {\frac {\pi \cdot x}{L}}}$.

Differentialgleichung für ${\displaystyle \eta _{1}}$:

${\displaystyle -EI\cdot {\eta _{1}}''=F\cdot \eta _{0}=F\cdot a\cdot \sin {\frac {\pi \cdot x}{L}}}$

(mit ${\displaystyle E}$ … Elastizitätsmodul und ${\displaystyle I}$ … axiales Flächenträgheitsmoment des Querschnittes)

Nach zweimaliger Integration (Randbedingungen ${\displaystyle \eta _{1}=0}$ , wenn ${\displaystyle x=0}$ bzw. ${\displaystyle x=L}$) und Einsetzungen:

${\displaystyle \eta _{1}={\frac {L^{2}}{\pi ^{2}}}\cdot {\frac {F}{EI}}\cdot a\cdot \sin {\frac {\pi \cdot x}{L}}={\frac {L^{2}}{\pi ^{2}}}\cdot {\frac {F}{EI}}\cdot \eta _{0}=\alpha _{1}\cdot \eta _{0}}$ .

${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha }$.

Wenn ${\displaystyle \alpha =1}$, dann ist die kritische Druckkraft:

${\displaystyle F_{k}={\frac {\pi ^{2}\cdot EI}{L^{2}}}}$ .

In diesen beiden Eulerfällen sind die sinusförmig angenommenen Biegelinien andere Ausschnitte einer ganzen Sinuslinie (siehe obige Abbildung), weshalb ihre Gleichungen unmittelbar aus der für den Fall (2) folgen:

(2):  halbe Sinuswellenlänge; Länge  ${\displaystyle L\;{\stackrel {\wedge }{=}}\;\pi }$ ,      ${\displaystyle \beta =1}$ ,
(1):  viertel Cosinuswellenlänge; Länge  ${\displaystyle L\;{\stackrel {\wedge }{=}}\;\pi /2}$ ,      ${\displaystyle \beta =2}$ ,
(4):  ganze Cosinuswellenlänge; Länge  ${\displaystyle L\;{\stackrel {\wedge }{=}}\;2\cdot \pi }$ ,     ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{2}}}$ .

${\displaystyle \beta }$  wird als Knicklängenbeiwert und  ${\displaystyle L_{k}=\beta \cdot L}$  als Knicklänge bezeichnet.

Die anderen kritischen Druckkräfte sind:

(1): ${\displaystyle F_{k}={\frac {\pi ^{2}\cdot EI}{4\cdot L^{2}}}}$

(4): ${\displaystyle F_{k}={\frac {4\cdot \pi ^{2}\cdot EI}{L^{2}}}}$

${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{\beta }}_{3}\right)-{\frac {\pi }{\beta }}_{3}=0}$

${\displaystyle \beta _{3}\approx 0{,}699156}$ [4]

(3): ${\displaystyle F_{k}={\frac {\pi ^{2}\cdot EI}{(\beta \,L)^{2}}}}$

Als weitere Größe wird der Schlankheitsgrad ${\displaystyle \lambda }$ verwendet:

${\displaystyle \lambda ={\frac {\beta \cdot L}{i}}}$

wobei ${\displaystyle i}$ für den Trägheitsradius des Querschnittes steht.

Weiterhin ergibt sich die Knickspannung ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {k} }\,}$ unter der Annahme der linearen Elastizität zu:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {k} }={\frac {\pi ^{2}\cdot E}{\lambda ^{2}}}}$

Die Funktion ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {k} }(\lambda )}$ ergibt eine Hyperbel zweiten Grades, die so genannte Euler-Hyperbel. Dividiert durch den Elastizitätsmodul ${\displaystyle E\,}$ ergibt sich die Knickdehnung, eine Größe, die nur von der Geometrie (Länge, Querschnittsform und -größe, Lagerung) abhängig ist.

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {k} }={\frac {\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}}$

die 5 idealen Einzelstabbiegeknickfälle

	Euler-Fall 1	Euler-Fall 2	Euler-Fall 3	Euler-Fall 4	verschiebliche Einspannung
Abbildungen
Verschiebungs- bzw. Kraftrandbedinung bei ${\displaystyle X=0}$	${\displaystyle w(0)=0}$	${\displaystyle w(0)=0}$	${\displaystyle w(0)=0}$	${\displaystyle w(0)=0}$	${\displaystyle w(0)=0}$
Verdrehungs- bzw. Momentenrandbedinung bei ${\displaystyle X=0}$	${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial X}}(0)=0}$	${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}w}{(\partial X)^{2}}}(0)=0}$	${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial X}}(0)=0}$	${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial X}}(0)=0}$	${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial X}}(0)=0}$
Verschiebungs- bzw. Kraftrandbedinung bei ${\displaystyle X=L}$	${\displaystyle {\frac {\partial ^{3}w}{(\partial X)^{3}}}(L)=0}$	${\displaystyle w(L)=0}$	${\displaystyle w(L)=0}$	${\displaystyle w(L)=0}$	${\displaystyle {\frac {\partial ^{3}w}{(\partial X)^{3}}}(L)=0}$
Verdrehungs- bzw. Momentenrandbedinung bei ${\displaystyle X=L}$	${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}w}{(\partial X)^{2}}}(L)=0}$	${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}w}{(\partial X)^{2}}}(L)=0}$	${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}w}{(\partial X)^{2}}}(L)=0}$	${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial X}}(L)=0}$	${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial X}}(L)=0}$
${\displaystyle \left|{\mathcal {N_{cr}}}\right|}$	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}EI}{(2\,L)^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}EI}{(L)^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}EI}{(\beta _{3}\,L)^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}EI}{({L}/{2})^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}EI}{(L)^{2}}}}$
Knickfigur	${\displaystyle 1-\cos \left({\frac {\pi \,X}{2\,L}}\right)}$	${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi \,X}{L}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\,\pi }}\,\left\{\sin \left({\frac {\pi \,X}{\beta _{3}}}\,L\right)+{\frac {\pi }{\beta _{3}}}\,\left[1-{\frac {X}{L}}-\cos \left({\frac {\pi \,X}{\beta _{3}\,L}}\right)\right]\right\}}$	${\displaystyle 1-\cos \left({\frac {\pi \,X}{{\frac {1}{2}}\,L}}\right)}$	${\displaystyle 1-\cos \left({\frac {\pi \,X}{L}}\right)}$

Alle weiteren idealen (d. h. ohne (dreh-)Federn) Einzelstabbiegeknickfälle können durch spiegeln und/oder verschieben der Knickfigur der obigen erzeugt werden, ohne dass sich die Knicklast ändert.

Das ${\displaystyle \omega }$-Verfahren wurde von der Deutschen Reichsbahn für die eigenen Stahlbrücken aus Baustahl entwickelt und war in der DIN 4114 festgelegt. Es lieferte einen sehr einfachen Nachweis der Knicksicherheit. In Abhängigkeit vom Schlankheitsgrad ${\displaystyle \lambda \,}$ wurden die Knickzahlen ${\displaystyle \omega \,}$ in zwei Tabellen für die Werkstoffe S235JR+AR (St37) und S355J2+N (St52) aufgetragen. Bei Schlankheitsgraden kleiner als 20 war kein Knicksicherheitsnachweis notwendig; Schlankheitsgrade größer 250 waren unzulässig. Die auch ${\displaystyle \omega \,}$-Zahlen genannten Knickwerte lagen zwischen 1 und 10,55 bei S235JR+AR. Der Sicherheitsnachweis hatte die folgende Form:

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {k} }=\omega \cdot {\frac {F_{\mathrm {k} }}{A}}\leq \sigma _{\mathrm {zul} }}$

Der Wert von ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {zul} }}$ entspricht der zulässigen Druckspannung für den entsprechenden Werkstoff im zugehörigen Lastfall. Der große Vorteil des Verfahrens lag in der Tatsache, dass der Knicknachweis auf einen einfachen Spannungsnachweis mit Druckkräften reduziert wurde. In den ${\displaystyle \omega }$-Zahlen waren Knicksicherheiten von 1,3 bis 1,5 eingearbeitet.

Für den Fall, dass keine Tafel der ${\displaystyle \omega \,}$-Zahlen zur Verfügung steht, können für den Werkstoff S235JR+AR (St37) die ${\displaystyle \omega }$-Zahlen näherungsweise nach der folgenden Formel bestimmt werden:

${\displaystyle \omega \approx 0{,}99+{\frac {\lambda }{728}}+\left({\frac {\lambda }{153}}\right)^{2}+\left({\frac {\lambda }{143}}\right)^{3}\qquad {\text{für}}\quad 20\leq \lambda <115}$

${\displaystyle \omega \approx \left({\frac {\lambda }{76{,}95}}\right)^{2}\qquad {\text{für}}\quad 115\leq \lambda \leq 250}$

Das Verfahren wurde zwischenzeitlich durch andere und genauere Verfahren ersetzt, besitzt aber durch seine Anschaulichkeit noch eine gewisse Bedeutung in der Ausbildung von Ingenieuren.