Klassifikation projektiver Ebenen

Die Menge

${\displaystyle L({\mathcal {P}})=\lbrace (a,Z)\in {\mathcal {G}}\times {\mathcal {P}}:\quad Z\in a\land {\mathcal {P}}{\text{ ist }}(a,Z){\text{-transitiv}}\rbrace }$

heißt Lenz-Figur von ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$.

Die Menge

${\displaystyle B({\mathcal {P}})=\lbrace (a,Z)\in {\mathcal {G}}\times {\mathcal {P}}:\quad {\mathcal {P}}{\text{ ist }}(a,Z){\text{-transitiv}}\rbrace }$

heißt Lenz-Barlotti-Figur von ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$.

Sowohl die Lenz-Figur, als auch die Lenz-Barlotti-Figur sind invariant unter jeder Kollineation, das heißt konkret:

Ist ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ eine projektive Ebene und ${\displaystyle \kappa }$ eine beliebige Kollineation dieser Ebene, dann gilt[2]

${\displaystyle (a,Z)\in L({\mathcal {P}})\Rightarrow (\kappa (a),\kappa (Z))\in L({\mathcal {P}})\quad }$ und

${\displaystyle (a,Z)\in B({\mathcal {P}})\Rightarrow (\kappa (a),\kappa (Z))\in B({\mathcal {P}})\quad }$.

Ternärkonstruktion in einer beliebigen projektiven Ebene für die Ternärkörperelemente, das sind die affinen Punkte${\displaystyle x=(x,x)\in OE\setminus UV}$ der Geraden ${\displaystyle OE}$. Die Verbindungsgerade ${\displaystyle UV}$ (hellblau) ist die Ferngerade der Ebene.

Die Ternärverknüpfung ${\displaystyle (a,x,b)\mapsto T(a,x,b)}$ wird nun für ${\displaystyle (a,x,b)\in K}$ so definiert, vergleiche die zweite Abbildung rechts:

1. Zu ${\displaystyle a\in K}$ wird der Fernpunkt ${\displaystyle A=(a)\in UV\setminus \{V\}}$ konstruiert.
2. Zu ${\displaystyle b\in K}$ wird der Punkt ${\displaystyle B=(0,b)\in OV\setminus \{V\}}$ konstruiert.
3. Das Ergebnis ${\displaystyle T=T(a,x,b)}$ ist bestimmt als die y-Koordinate des Schnitts ${\displaystyle xV\cap BA}$, der in der Abbildung grün dargestellt ist.

Diese Ternärverknüpfung ist der im Artikel Ternärkörper beschriebenen affinen Definition äquivalent. Anders als dort beschrieben, werden hier die Geraden durch in der zweiten Koordinate y explizite Gleichungen (und zwei Sonderformen) dargestellt:

1. Die Geraden ${\displaystyle [a,b]}$ haben die explizite Geradengleichung ${\displaystyle y=T(a,x,b)}$ für die affinen Punkte und den Fernpunkt ${\displaystyle (a)}$, als Beispiel in der Abbildung die grau dargestellte Verbindungsgerade ${\displaystyle [a,b]=(0,b)(b)}$. Dies sind alle Geraden der projektiven Ebene, außer denen durch ${\displaystyle V=(\infty )}$. Ein Spezialfall sind die Verbindungsgeraden ${\displaystyle (0,b)U}$ mit der affinen Gleichung ${\displaystyle y=T(0,x,b)=b}$ und dem Fernpunkt ${\displaystyle U=(0)}$.
2. Die Geraden ${\displaystyle [c]}$ durch V, die ${\displaystyle OE}$ in einem affinen Punkt ${\displaystyle c=(c,c)}$ schneiden, haben die Gleichung ${\displaystyle x=c}$ für die affinen Punkte und den Fernpunkt ${\displaystyle V=(\infty )}$. Ein Beispiel ist die Gerade ${\displaystyle [x]}$ in der Abbildung.
3. Die Ferngerade ${\displaystyle UV=[\infty ]}$ enthält genau die Punkte mit den Koordinaten ${\displaystyle (a),a\in K\cup \{\infty \}}$.

Im affinen Ausschnitt der Ebene sind Geraden genau dann parallel, wenn ihre projektive Fortsetzungen durch denselben Fernpunkt ${\displaystyle (a),a\in K\cup \{\infty \}}$ gehen, daher gilt für die Parallelenscharen:

1. Zwei Geraden ${\displaystyle [a_{1},b_{1}],[a_{2},b_{2}]}$ sind genau dann parallel, wenn ${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$ ist. Diese Zahl ist die gemeinsame Steigung der zugehörigen Parallelenschar.
2. Alle Geraden vom zweiten Typ ${\displaystyle [c]}$ sind zueinander, aber zu keiner Geraden des ersten Typs parallel.

Auf jeder projektiven Ebene werden durch die Wahl eines Koordinatenbezugssystems ${\displaystyle (O,U,V,E)}$ auch zwei zweistellige Verknüpfungen, eine Addition ${\displaystyle x+b:=T(1,x,b)}$ und eine Multiplikation ${\displaystyle a\cdot x=T(a,x,0)}$ auf der affinen Punktmenge ${\displaystyle K=OE\setminus UV}$ festgelegt. Die oben beschriebene Ternärverknüpfung ist auf allen Ebenen außer denen der Lenz-Barlotti-Klasse I.1, also auf allen Ebenen über einem linearen Ternärkörper durch diese zweistelligen Verknüpfungen als ${\displaystyle T(a,x,b)=a\cdot x+b}$ darstellbar.

In den Abbildungen unten sind diese Spezialfälle der Ternärverknüpfung dargestellt.

Addition ${\displaystyle x+b=T(1,x,b)}$ in einer projektiven Ebene.	Multiplikation ${\displaystyle a\cdot x=T(a,x,0)}$ in einer projektiven Ebene.

Lenz ordnet jeder Lenz-Figur eine Ordnungszahl in Form einer römischen Zahl zwischen I und VII zu. Eine Klasse mit einer höheren Klassenzahl erfüllt alle Eigenschaften der Klassen mit niedrigeren Zahlen, aber ihre Lenz-Figur ist eine echte Obermenge von Lenzfiguren der niedrigeren Klassen. Die Klassenzahl VI entfällt, da gezeigt wurde, dass keine projektive Ebene mit der entsprechenden Lenz-Figur existiert. Stattdessen hat bereits Lenz die Klasse IV in zwei Unterklassen IVa und IVb aufgeteilt, die dual zueinander sind.

Eine projektive Ebene ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ hat genau eine der im Folgenden genannten Lenz-Figuren:[7]

Lenz-Typ	Lenz-Figur	Koordinatenbereich
I	${\displaystyle L({\mathcal {P}})=\emptyset }$	Ternärkörper
II	Es gibt eine Achse ${\displaystyle a\in {\mathcal {G}}}$ und ein Zentrum ${\displaystyle Z\in a}$ mit ${\displaystyle L({\mathcal {P}})=\lbrace (a,Z)\rbrace }$	kartesische Gruppe
III	Es gibt eine Gerade ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$ und einen Punkt ${\displaystyle U\in {\mathcal {P}}\setminus g}$, so dass ${\displaystyle L({\mathcal {P}})=\lbrace (UZ,Z):Z\in g\rbrace }$ gilt.	spezielle kartesische Gruppe (stets unendlich!)
IVa	Es gibt eine Achse ${\displaystyle a\in {\mathcal {G}}}$, so dass ${\displaystyle L({\mathcal {P}})=\lbrace a\rbrace \times a}$ gilt.	Linksquasikörper
IVb	Es gibt ein Zentrum ${\displaystyle Z\in {\mathcal {P}}}$, so dass ${\displaystyle L({\mathcal {P}})=\lbrace g\in {\mathcal {G}}:Z\in g\rbrace \times \lbrace Z\rbrace }$ gilt.	Rechtsquasikörper[8]
V	Es gibt eine Achse ${\displaystyle a\in {\mathcal {G}}}$ und ein Zentrum ${\displaystyle Z\in {\mathcal {P}}}$, so dass ${\displaystyle L({\mathcal {P}})=\left(\lbrace a\rbrace \times a\right)\cup \left(\lbrace g\in {\mathcal {G}}:Z\in g\rbrace \times \lbrace Z\rbrace \right)}$ gilt.	Halbkörper
VII	${\displaystyle L({\mathcal {P}})=\lbrace (a,Z)\in {\mathcal {G}}\times {\mathcal {P}}:Z\in a\rbrace }$	Alternativkörper

Ebenen, die mindestens den Lenz-Typ IVa haben, also zu einer der Klassen IVa, V oder VII gehören, werden auch als projektive Translationsebenen bezeichnet. Schlitzt man eine solche Ebene längs einer Achse, die zur Lenzfigur gehört, dann entsteht eine affine Translationsebene. Bei Ebenen der Lenz-Klassen IVb, V oder VII ist die duale Ebene eine projektive Translationsebene in diesem Sinn. Nur bei Ebenen der Lenz-Klasse VII ist die algebraische Struktur des Koordinatenbereichs unabhängig von der Wahl des projektiven Koordinatensystems, hier sind alle Koordinatenbereiche zueinander isomorphe Alternativkörper, siehe dazu Moufangebene. Für eine Ebene der Klasse V sind die Koordinatenbereiche zueinander isotope Halbkörper. Bei den Klassen I bis IV sind die Koordinatenkörper zueinander isotope Ternärkörper und nur bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems haben sie die in der Tabelle genannte „stärkst-mögliche“ algebraische Struktur.

Die Lenz-Barlotti-Klassifikation[5][9] verfeinert die Lenz-Klassifikation, indem bei der Lenz-Barlotti-Figur auch zugelassen wird, dass das Zentrum nicht auf der Achse liegt. Die römischen Zahlen nach Lenz werden beibehalten, ihnen werden, durch einen Punkt getrennt, arabische Ziffern angefügt. Jede Lenz-Barlotti-Klasse ist eine Unterklasse der oben beschriebenen Lenz-Klassifikation. Damit zerfiel zum Beispiel die Klasse I von Lenz bei Barlotti ursprünglich in 8 Unterklassen (I.1 bis I.8), wobei sich später zeigte, dass keine Vertreter der Klassen I.5, I.7 und I.8 existieren. Die Lenz-Klasse V zerfällt als Einzige in der Lenz-Barlotti-Klassifikation nicht weiter, hier gilt ${\displaystyle L({\mathcal {P}})=B({\mathcal {P}})}$. Ansonsten stimmt die Lenz-Barlotti-Figur für die jeweils erste Lenz-Barlotti-Klasse mit der Lenz-Figur der entsprechenden übergeordneten Lenz-Klasse überein.

Eine projektive Ebene ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ hat genau eine der im Folgenden genannten Lenz-Barlotti-Figuren:

Lenz-Barlotti-Typ	Lenz-Barlotti-Figur	Ternärkörper K bezüglich ${\displaystyle O,U,V,E}$
I.1	${\displaystyle B({\mathcal {P}})=L({\mathcal {P}})=\emptyset }$	keine zusätzlichen Eigenschaften
I.2	${\displaystyle B({\mathcal {P}})=\{(U,OV)\}}$	K ist linear, Multiplikation ist assoziativ
I.3	${\displaystyle B({\mathcal {P}})=\{(U,OV),(V,OU)\}}$	K ist linear, Multiplikation ist assoziativ, ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$
I.4	${\displaystyle B({\mathcal {P}})=\{(U,OV),(V,OU),(O,UV)\}}$	K ist linear, Multiplikation ist assoziativ, beide Distributivgesetze
I.6	${\displaystyle B({\mathcal {P}})=\{(X,\theta (X)):X\in UV,X\neq V\}}$, wobei ${\displaystyle \theta }$ eine bijektive Abbildung der Punkte von ${\displaystyle UV\setminus \{V\}}$ auf die Menge der Geraden durch V außer UV ist, in Koordinaten zum Beispiel ${\displaystyle \theta ((a))=[a]}$.	K ist linear, Multiplikation ist assoziativ, beide Distributivgesetze, weitere spezielle Eigenschaften
II.1	${\displaystyle B({\mathcal {P}})=L({\mathcal {P}})=\{(V,UV)\}}$	Kartesische Gruppe
II.2	${\displaystyle B({\mathcal {P}})=\{(V,UV),(U,OV)\}}$	Kartesische Gruppe, assoziative Multiplikation
III.1	${\displaystyle B({\mathcal {P}})=\{(X,XU):X\in OV\}}$	Kartesische Gruppe mit speziellen Eigenschaften
III.2	${\displaystyle B({\mathcal {P}})=\{(X,XU):X\in OV\}\cup \{(U,OV\}}$	Kartesische Gruppe mit speziellen Eigenschaften, assoziative Multiplikation
IVa.1	${\displaystyle B({\mathcal {P}})=L({\mathcal {P}})=\{(X,UV):X\in UV\}}$, Translationsebene	Linksquasikörper: ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$
IVa.2	${\displaystyle B({\mathcal {P}})=\{(U,g):g\ni V\}\cup \{(V,h):h\ni U\}\{(X,UV):X\in UV\}}$	(Links-)Fastkörper
IVa.3	${\displaystyle B({\mathcal {P}})=\{(X,x):X\in UV,\theta (X)\in x\}}$, wobei ${\displaystyle \theta }$ eine involutorische, bijektive, fixpunktfreie Abbildung der Geraden UV auf sich ist	eindeutig bestimmter Linksfastkörper mit 9 Elementen.
IVb.1	Die Lenz-Barlotti-Figur ist dual zu der von Klasse IVa.1.	Dual zu IVa.1.
IVb.2	Die Lenz-Barlotti-Figur ist dual zu der von Klasse IVa.2.	Dual zu IVa.2.
IVb.3	Die Lenz-Barlotti-Figur ist dual zu der von Klasse IVa.3.	Dual zu IVa.3.
V	${\displaystyle B({\mathcal {P}})=L({\mathcal {P}})=\{(X,UV):X\in UV\}\cup \{(V,x):x\ni V\}}$	Halbkörper
VII.1	${\displaystyle B({\mathcal {P}})=L({\mathcal {P}})=\lbrace (a,Z)\in {\mathcal {G}}\times {\mathcal {P}}:Z\in a\rbrace }$	Alternativkörper
VII.2	${\displaystyle B({\mathcal {P}})={\mathcal {G}}\times {\mathcal {P}}}$	Schiefkörper

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