Kinetische Energie

In der klassischen Mechanik ist die kinetische Energie ${\displaystyle E}$ eines Massenpunktes proportional zu seiner Masse ${\displaystyle m}$ und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }={\frac {1}{2}}mv^{2}}$.

Fährt beispielsweise ein Auto der Masse ${\displaystyle m=1000\,\mathrm {kg} }$ mit einer Geschwindigkeit von ${\displaystyle v=100\,\mathrm {km} /\mathrm {h} }$, hat es demzufolge eine kinetische Energie von ${\textstyle E_{\mathrm {kin} }={\frac {1}{2}}\cdot 1000\,\mathrm {kg} \cdot \left(100\,{\frac {\mathrm {km} }{\mathrm {h} }}\right)^{2}\approx {\frac {1}{2}}\cdot 1000\,\mathrm {kg} \cdot \left(27{,}78\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}\right)^{2}\approx 385.800\,\mathrm {J} }$ (das Joule, ${\displaystyle \mathrm {J} }$, ist die SI-Einheit der Energie).

Wenn man den Bewegungszustand des Körpers nicht durch seine Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$, sondern durch seinen Impuls ${\displaystyle p}$ beschreibt, wie das u. a. in der Hamiltonschen Mechanik üblich ist, so gilt für die kinetische Energie (wegen ${\displaystyle p=mv}$)

${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }={\frac {p^{2}}{2m}}}$.

Wird ein Körper der Masse ${\displaystyle m}$ aus der Ruhe heraus auf die Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ beschleunigt, so muss man dafür die Beschleunigungsarbeit ${\displaystyle W}$ zufügen. Bei konstanter Kraft gilt

${\displaystyle W=Fs}$,

wobei ${\displaystyle s}$ die in Richtung der Kraft zurückgelegte Strecke ist. Die Kraft erteilt dem Körper eine gleichmäßige Beschleunigung ${\displaystyle a}$, nach der Grundgleichung der Mechanik ist ${\displaystyle F=ma}$. Nach einer Zeit ${\displaystyle t}$ ist die Geschwindigkeit ${\displaystyle v=at}$ erreicht, und es wurde die Strecke ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}at^{2}}$ zurückgelegt. Alles oben eingesetzt, ergibt die Beschleunigungsarbeit

${\displaystyle W=ma\cdot {\frac {1}{2}}at^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$.

Da die kinetische Energie in Ruhe den Wert Null hat, erreicht sie nach dem Beschleunigungsvorgang genau diesen Wert ${\displaystyle W}$. Folglich beträgt die kinetische Energie eines Körpers der Masse ${\displaystyle m}$, der sich mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ bewegt

${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }={\frac {1}{2}}mv^{2}}$.

Beschreibt man die Bewegung eines Körpers in einem Koordinatensystem, so lässt sich die kinetische Energie je nach Wahl des Koordinatensystems wie folgt berechnen:

• Kartesische Koordinaten ${\displaystyle (x,y,z)}$:

${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)}$

• Ebene Polarkoordinaten (${\displaystyle r,\varphi }$):

${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right)}$

• Kugelkoordinaten (${\displaystyle r,\varphi ,\vartheta }$):

${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }={\frac {1}{2}}m\left(r^{2}\left[{\dot {\vartheta }}^{2}+{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\vartheta \right]+{\dot {r}}^{2}\right)}$

• Zylinderkoordinaten (${\displaystyle r,\varphi ,z}$):

${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)}$

Dabei bedeutet der Punkt über der Koordinate ihre zeitliche Änderung, die Ableitung nach der Zeit. Die Formeln berücksichtigen nicht die Energie, die möglicherweise in der Eigenrotation des Körpers steckt.

Die kinetische Energie eines starren Körpers mit der Gesamtmasse ${\displaystyle M}$ und der Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{\mathrm {s} }}$ seines Schwerpunktes ist die Summe der Energie aus der Bewegung des Schwerpunkts (Translationsenergie) und der Rotationsenergie aus der Drehung um den Schwerpunkt:

${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }={\frac {1}{2}}M{v_{\mathrm {s} }}^{2}+{\frac {1}{2}}J_{\mathrm {s} }\omega ^{2}}$

Hier ist ${\displaystyle J_{\mathrm {s} }}$ das Trägheitsmoment des Körpers bezüglich seines Schwerpunktes und ${\displaystyle \omega }$ die Winkelgeschwindigkeit der Drehung.

Mit dem Trägheitstensor ${\displaystyle I}$ wird dies allgemein geschrieben als:

${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }={\frac {1}{2}}M{v_{\mathrm {s} }}^{2}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{T}I{\boldsymbol {\omega }}}$

In der Hydrodynamik wird oft statt der kinetischen Energie die kinetische Energiedichte angegeben. Diese wird meistens durch ein kleines ${\displaystyle e}$ oder ${\displaystyle \epsilon }$ ausgedrückt:

${\displaystyle e_{\mathrm {kin} }={\frac {E_{\mathrm {kin} }}{V}}={\frac {1}{2}}\rho v^{2}}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \rho }$ die Dichte und ${\displaystyle V}$ das Volumen.