Kettenkomplex

Ein Kettenkomplex besteht aus einer Folge

${\displaystyle C_{n},\,n\in \mathbb {Z} }$

von ${\displaystyle R}$-Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

${\displaystyle d_{n}\colon C_{n}\rightarrow C_{n-1}}$

von ${\displaystyle R}$-Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0}$

für alle n gilt. Der Operator ${\displaystyle \mathrm {d} _{n}}$ heißt Randoperator. Elemente von ${\displaystyle C_{n}}$ heißen n-Ketten. Elemente von

${\displaystyle Z_{n}(C,d):=\ker d_{n}\subseteq C_{n}}$ bzw. ${\displaystyle B_{n}(C,d):=\mathop {\operatorname {im} } d_{n+1}\subseteq C_{n}}$

heißen n-Zykel bzw. n-Ränder. Aufgrund der Bedingung ${\displaystyle d_{n}d_{n+1}=0}$ ist jeder Rand ein Zykel. Der Quotient

${\displaystyle H_{n}(C,d):=Z_{n}(C,d)/B_{n}(C,d)}$

heißt n-te Homologiegruppe (Homologieobjekt) von ${\displaystyle (C,d)}$, ihre Elemente heißen Homologieklassen. Zykel, die in derselben Homologieklasse liegen, heißen homolog.

Ein Kokettenkomplex besteht aus einer Folge

${\displaystyle C^{n},\,n\in \mathbb {Z} }$

von ${\displaystyle R}$-Moduln (abelschen Gruppen, Objekten einer abelschen Kategorie A) und einer Folge

${\displaystyle d^{n}\colon C^{n}\rightarrow C^{n+1}}$

von ${\displaystyle R}$-Modul-Homomorphismen (Gruppenhomomorphismen, Morphismen in A), so dass

${\displaystyle d^{n}\circ d^{n-1}=0}$

für alle n gilt. Elemente von ${\displaystyle C^{n}}$ heißen n-Koketten. Elemente von

${\displaystyle Z^{n}:=\ker d^{n}\subseteq C^{n}}$ bzw. ${\displaystyle B^{n}:=\operatorname {im} d^{n-1}\subseteq C^{n}}$

heißen n-Kozykel bzw. n-Koränder. Aufgrund der Bedingung ${\displaystyle d^{n}d^{n-1}=0}$ ist jeder Korand ein Kozykel. Der Quotient

${\displaystyle H^{n}(C,d):=Z^{n}(C,d)/B^{n}(C,d)}$

heißt n-te Kohomologiegruppe (Kohomologieobjekt) von ${\displaystyle (C,d)}$, ihre Elemente Kohomologieklassen. Kozykel, die in derselben Kohomologieklasse liegen, heißen kohomolog.

Ein Doppelkomplex

Ein Doppelkomplex[1]  ${\displaystyle D_{**}}$  in der abelschen Kategorie A ist im Wesentlichen ein Kettenkomplex in der abelschen Kategorie der Kettenkomplexe in A. Etwas genauer besteht  ${\displaystyle D_{**}}$  aus Objekten

${\displaystyle D_{p,q}\in \operatorname {ob} A\,,\quad p,q\in \mathbb {Z} }$

zusammen mit Morphismen

${\displaystyle D_{p,q}{\xrightarrow {d}}D_{p-1,q}}$   und   ${\displaystyle D_{p,q}{\xrightarrow {d'}}D_{p,q-1}\quad \forall \,p,q\in \mathbb {Z} }$

die die folgenden drei Bedingungen erfüllen:

${\displaystyle d\circ d=0\quad d'\circ d'=0\quad d\circ d'+d'\circ d=0\,.}$

Der Totalkomplex  ${\displaystyle \operatorname {Tot} (D)_{*}}$  des Doppelkomplex  ${\displaystyle D_{**}}$  ist der Kettenkomplex gegeben durch

${\displaystyle \operatorname {Tot} (D)_{n}=\bigoplus _{p+q=n}D_{p,q}}$

mit der folgenden Randabbildung: für  ${\displaystyle x\in D_{p,q}}$  mit  ${\displaystyle p+q=n}$  ist

${\displaystyle d_{n}(x)=d(x)+d'(x)\in D_{p-1,q}\oplus D_{p,q-1}\subseteq \operatorname {Tot} (D)_{n-1}\,.}$

Doppelkomplexe werden unter anderem benötigt, um zu beweisen, dass der Wert von ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(M,N)}$ nicht davon abhängt, ob man M auflöst oder N.[2]