Kerr-Metrik

Mit den kovarianten

${\displaystyle g_{tt}=\zeta -1,\ g_{rr}={\frac {\Sigma }{\Delta }},\ g_{\theta \theta }=\Sigma ,\ g_{\phi \phi }={\frac {\chi \sin ^{2}\theta }{\Sigma }},\ g_{t\phi }=-a\zeta \sin ^{2}\theta }$

und den durch Matrixinvertierung erhaltenen kontravarianten

${\displaystyle g^{tt}=-{\frac {\chi }{\Delta \Sigma }},g^{rr}={\frac {\Delta }{\Sigma }},g^{\theta \theta }={\frac {1}{\Sigma }},g^{\phi \phi }={\frac {\Delta -a^{2}\sin ^{2}\theta }{\Delta \Sigma \sin ^{2}\theta }},\ g^{t\phi }=-{\frac {a\zeta }{\Delta }}}$

metrischen Koeffizienten[4][5][6] lautet das Linienelement der Kerr-Raumzeit in Boyer-Lindquist-Koordinaten und geometrisierten Einheiten, d. h. ${\displaystyle G=c=1}$:[4][7]

${\displaystyle {\mathrm {d} s}^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=g_{tt}\mathrm {d} t^{2}+g_{rr}\mathrm {d} r^{2}+g_{\theta \theta }\mathrm {d} \theta ^{2}+g_{\phi \phi }\mathrm {d} \phi ^{2}+2g_{t\phi }\mathrm {d} t\mathrm {d} \phi ,}$

oder ausgeschrieben

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=(\zeta -1)\mathrm {d} t^{2}+{\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}+\Sigma \mathrm {d} \theta ^{2}+{\frac {\chi \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\mathrm {d} \phi ^{2}-2a\zeta \sin ^{2}\theta \mathrm {d} t\mathrm {d} \phi }$

Der D’Alembert-Operator lautet:

${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }=g^{\mu \nu }\left({\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right){\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}=g^{tt}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}+g^{rr}\left({\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{2}+g^{\theta \theta }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)^{2}+g^{\phi \phi }\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)^{2}+2g^{t\phi }\,{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\frac {\partial }{\partial t}}}$

Es gilt:

${\displaystyle r_{\mathrm {s} }=2M,\quad a=J/M,\quad \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta ,\quad \Delta =r^{2}-r_{\mathrm {s} }\ r+a^{2},\quad \chi =\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta \Delta ,\quad \zeta =r_{\mathrm {s} }r/\Sigma }$

${\displaystyle M}$ ist die felderzeugende, gravitierende Masse inklusive der Rotationsenergie. Wird einem Schwarzen Loch, beispielsweise mithilfe eines Penrose-Prozesses,[8][9] seine gesamte Rotationsenergie entzogen, reduziert sich seine gravitierende Masse ${\displaystyle M}$ auf die irreduzible Masse ${\displaystyle M_{\mathrm {irr} }}$. Für diese gilt:[10][11]

${\displaystyle M_{\mathrm {irr} }={\sqrt {\,{\frac {M^{2}+{\sqrt {M^{4}-a^{2}M^{2}}}}{2}}}}}$

Nach ${\displaystyle M}$ aufgelöst gilt auch:

${\displaystyle M=2{\sqrt {\frac {M_{\mathrm {irr} }^{4}}{4M_{\mathrm {irr} }^{2}-a^{2}}}}}$

Der Rotationsenergie ${\displaystyle E_{\mathrm {rot} }=M-M_{\mathrm {irr} }}$ entspricht also in Übereinstimmung mit der Äquivalenz von Masse und Energie einer Masse. Für den Fall, dass der Körper mit ${\displaystyle a=M}$ rotiert, ergibt sich ein um den Faktor ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ höheres Massenäquivalent als für einen statischen Körper mit der gleichen irreduziblen Masse.

${\displaystyle r_{\mathrm {s} }}$ ist der Schwarzschild-Radius. Der Parameter ${\displaystyle a}$ wird auch Kerrparameter genannt. Er ist proportional zum Drehimpuls ${\displaystyle J}$ des Schwarzen Loches. Ein positiver Drehimpuls beschreibt vom Nordpol aus betrachtet eine Rotation gegen den Uhrzeigersinn. Ein negativer Drehimpuls beschreibt die entgegengesetzte Richtung.

Für den Fall einer verschwindenden Rotation mit ${\displaystyle a=0}$ reduziert sich das obige Linienelement auf das Schwarzschild-Linienelement in Schwarzschild-Koordinaten. Setzt man zusätzlich den Masseparameter auf Null ${\displaystyle M=0}$ reduziert sich das obige Linienelement auf das Linienelement der Minkowski-Raumzeit in Kugelkoordinaten.

In der Originalarbeit von R. Kerr wird die Metrik in zwei Koordinatensystemen angegeben.[1] Bei der ersten Form reduziert sich das Linienelement mit ${\displaystyle a=0}$ auf das Linienelement der Schwarzschild-Metrik in Eddington-Finkelstein-Koordinaten.[12]

Die nichtverschwindenden kovarianten metrischen Komponenten lauten:[13][5]

${\displaystyle g_{uu}=\zeta -1,\,g_{ur}=1,\,g_{u{\hat {\varphi }}}=\zeta a\sin ^{2}\theta ,\,g_{r{\hat {\varphi }}}=a\sin ^{2}\theta ,\,g_{\theta \theta }=\Sigma ,\,g_{{\hat {\varphi }}{\hat {\varphi }}}=\Sigma \sin ^{2}\theta +a^{2}(1+\zeta )\sin ^{4}\theta }$

Die kontravarianten Komponenten ergeben sich durch Matrixinvertierung:

${\displaystyle g^{uu}={\frac {a^{2}\sin ^{2}\theta }{\Sigma }},\,g^{ur}={\frac {r^{2}+a^{2}}{\Sigma }},\,g^{u{\hat {\varphi }}}={\frac {-a}{\Sigma }},\,g^{rr}={\frac {r^{2}+a^{2}}{\Sigma }}-\zeta ,\,g^{r{\hat {\varphi }}}={\frac {-a}{\Sigma }},\,g^{\theta \theta }={\frac {1}{\Sigma }},\,g^{{\hat {\varphi }}{\hat {\varphi }}}=-{\frac {1}{\Sigma \sin ^{2}\theta }}}$

Die radiale Koordinate ${\displaystyle r}$ und der Polwinkel ${\displaystyle \theta }$ sind identisch mit ihren Boyer-Lindquist-Pendants. Die beiden anderen Koordinaten unterscheiden sich von den Boyer-Lindquist-Pendants.

Der lokale Beobachter mit konstantem ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$ befindet sich nicht auf einer festen Radialkoordinate. Er fällt radial gemäß

${\displaystyle \mathrm {d} r/\mathrm {d} t=-r_{\mathrm {s} }\ r\ \Delta /\chi }$

auf die zentrale Masse zu, während er wie der lokale Boyer-Lindquist-Beobachter mit der Winkelgeschwindigkeit

${\displaystyle \mathrm {d} \phi /\mathrm {d} t=r_{\mathrm {s} }\ r\ a/\chi }$

um die Symmetrieachse rotiert.[13]

So ein gedachter lokaler Beobachter wird in der Literatur auch „zero angular momentum observer“ oder kurz ZAMO genannt.[14][15] Siehe dazu auch weiter unten den Abschnitt Bahn von Testkörpern.

Die zweite Form des metrischen Tensors aus Kerrs Originalarbeit erhält man über die Koordinatentransformation:[1][16]

${\displaystyle x=(r\cos {\hat {\varphi }}+a\sin {\hat {\varphi }})\sin \theta ,\quad y=(r\sin {\hat {\varphi }}-a\cos {\hat {\varphi }})\sin \theta ,\quad z=r\cos \theta ,\quad {\hat {t}}=u\,-\,r}$

Diese Koordinaten werden in der Literatur auch als Kerr-Schild-Koordinaten bezeichnet. In diesen Koordinaten wird die Koordinatensingularität am Ereignishorizont vermieden.[8][7][12]

Das Linienelement lautet:

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}-\mathrm {d} {\hat {t}}^{2}+{\frac {r_{\mathrm {s} }\ r^{3}}{r^{4}+a^{2}\ z^{2}}}\ \left(\mathrm {d} {\hat {t}}+{\frac {r\ (x\ \mathrm {d} x+y\ \mathrm {d} y)}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {a\ (y\ \mathrm {d} x-x\ \mathrm {d} y)}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z\ \mathrm {d} z}{r}}\right)^{2}}$

Aufgrund der verwendeten Koordinatentransformationen gilt die folgende Gleichung:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}+a^{2}\left(1-{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\right)}$

Geometrische Darstellung der Ereignishorizonte und Ergosphären der Kerr-Raumzeit in Kerr-Schild-Koordinaten. Die Ringsingularität liegt an der äquatorialen Ausbuchtung der inneren Ergosphäre bei ${\displaystyle R=a.}$[18]

Größenvergleich des Schattens (schwarz) und der besonderen Flächen (weiß) eines Schwarzen Lochs. Der Spinparameter ${\displaystyle a}$ läuft von 0 bis ${\displaystyle M,}$ wobei die linke Seite des Schwarzen Lochs auf den Beobachter zu rotiert.[19]

In Boyer-Lindquist-Koordinaten entarten die oben angegebenen Komponenten des metrischen Tensors auf mehreren Flächen. Mit den Bezeichnungen von oben kann beispielsweise der Nenner der rein radialen Komponente ${\displaystyle g_{rr}}$ gleich Null werden, wenn ${\displaystyle \Delta =0}$ gesetzt und nach ${\displaystyle r}$ aufgelöst wird. Die beiden Ereignishorizonte liegen damit auf

${\displaystyle r_{\text{H}}^{\pm }\ =\ M\ \pm \ {\sqrt {M^{2}\ -\ a^{2}}}.}$

Bei maximaler Rotation mit ${\displaystyle a=M}$ fallen beide Werte mit dem Gravitationsradius ${\displaystyle r_{G}=M}$ zusammen. Bei minimaler Rotation mit ${\displaystyle a=0}$ fällt der positive Wert mit dem Schwarzschild-Radius ${\displaystyle r_{s}=2r_{G}}$ zusammen und der negative Wert fällt auf das Zentrum. Deshalb werden diese beiden Flächen auch als innerer und äußerer Ereignishorizont bezeichnet. Obwohl die radiale Koordinate ${\displaystyle r}$ bei beiden Ereignishorizonten einen konstanten Wert besitzt, weicht das geometrische Krümmungsverhalten der Ereignishorizonte stark von dem Krümmungsverhalten einer Kugeloberfläche ab.[16][17] Der innere Ereignishorizont, bei dem es sich um einen Cauchy-Horizont handelt, entzieht sich der direkten Beobachtung, solange für den Spinparameter ${\displaystyle a\leq M}$ gilt.[20] Da die Raumzeit im Inneren desselben extrem instabil ist, gilt es als eher unwahrscheinlich, dass sich ein solcher bei einem realen Kollaps eines Sterns tatsächlich ausbildet.[18]

Zwei weitere Flächen ergeben sich in Boyer-Lindquist-Koordinaten aufgrund eines Vorzeichenwechsels der zeitartigen Komponente ${\displaystyle g_{tt}}$. Die Bedingung ${\displaystyle g_{tt}=0}$ führt hier erneut auf eine quadratische Gleichung mit den Lösungen

${\displaystyle r_{\text{E}}^{\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}.}$

Diese zwei Flächen können wegen des Terms ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$ unter der Wurzel bei geringem Spinparameter als abgeflachte Sphären bzw. Rotationsellipsoide dargestellt werden. Die äußere Fläche berührt dabei den äußeren Ereignishorizont an den zwei Polen, die durch die Rotationsachse definiert werden. Die beiden Pole entsprechen einem Winkel ${\displaystyle \theta }$ von ${\displaystyle 0}$ bzw. ${\displaystyle \pi }$. Bei einem höheren Spinparameter beult sich die Ergosphäre von den Polen weg auch auf der z-Achse kürbisförmig[21] aus, während der innere Ereignishorizont auf den äußeren zu konvergiert und bei ${\displaystyle a=M}$ mit diesem zusammenfällt.

Der Raum zwischen den zwei äußeren Flächen mit ${\displaystyle r=r_{\text{H}}^{\text{+}}}$ und ${\displaystyle r=r_{\text{E}}^{\text{+}}}$ wird Ergosphäre genannt. Für ein massebehaftetes Teilchen ist ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}}$ entlang seiner Weltlinie negativ. Da innerhalb der Ergospäre die Komponente ${\displaystyle g_{tt}}$ der Metrik positiv ist, ist dies jedoch nur dann möglich, wenn das Teilchen mit einer gewissen Mindest-Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \Omega }$ mit der inneren Masse ${\displaystyle M}$ mitrotiert. Es kann deshalb innerhalb der Ergosphäre keine Teilchen geben, die ruhen oder sich in entgegengesetzter Richtung zu der Masse auf der Ringsingularität drehen, da die lokale Transversalgeschwindigkeit des Raumzeitstrudels (der Frame-Dragging-Effekt) ${\displaystyle v_{\mathrm {zamo} }=\Omega \ {\bar {R}}\ \varsigma }$ ab dem äußeren Rand der Ergosphäre größer gleich der Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ ist.[22][23]

Beim Schatten eines Schwarzen Lochs handelt es sich um den schwarzen Bereich, den ein Beobachter an der Stelle sieht, wo sich das Schwarze Loch befindet. Es handelt sich also um die scheinbare Ausdehnung des Schwarzen Lochs, die aufgrund der starken Krümmung der Raumzeit in der Nähe des Schwarzen Loches immer größer als der äußere Ereignishorizont ist.

Der Umriss des Schattens kann entweder mit numerischer Integration der lichtartigen Geodäten oder auch durch fouriertransformierte Limaçons berechnet werden.[24][25][26][27][28]

Der Beobachter wird im Folgenden als in weiter Entfernung vom Schwarzen Loch und stationär angenommen. ${\displaystyle \theta }$ bezeichnet den Polarwinkel der Position des Beobachters. ${\displaystyle \theta =0}$ und ${\displaystyle \theta =\pi }$ entspricht also einer Position auf der Symmetrieachse der betrachteten Raumzeit. ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ entspricht dagegen einer Position in der äquatorialen Ebene. Die Wellenlänge des Lichts wird im Vergleich zum Gravitationsradius als vernachlässigbar klein betrachtet. Die Konturlinien sind gegeben durch

${\displaystyle 0=(x^{2}+z^{2}-x\ A)^{2}-B^{2}\ (x^{2}+z^{2})}$

mit den beiden Parametern

${\displaystyle A=\alpha \sin \theta +{\bar {a}}\sin ^{3}\theta \cos ^{2}\theta /5}$

${\displaystyle B=\beta +0{,}23\cos ^{4}\theta \ (1-{\sqrt {1-{\bar {a}}^{4}}}),}$

die noch vom Kerrparameter und der Position des Beobachters abhängen. Ferner gilt noch die folgende Reihenentwicklung

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha =&-8892{,}68{\bar {a}}^{10}+30413{,}2{\bar {a}}^{9}-46107{,}4{\bar {a}}^{8}+\\&+37064{,}7{\bar {a}}^{7}-18685{,}4{\bar {a}}^{6}+4666{,}5{\bar {a}}^{5}-3894{,}54{\bar {a}}^{4}+\\&+49{,}5645{\bar {a}}^{3}-9672{,}25{\bar {a}}^{2}+2{,}27392{\bar {a}}+9669{,}01{\bar {a}}\ \tan({\bar {a}})\end{aligned}}}$

${\displaystyle \beta =5{,}19058-0{,}343743{\bar {a}}\ \tan({\bar {a}})+0{,}0284803{\bar {a}}-0{,}0470795{\bar {a}}^{\ 27{,}5224}\tan({\bar {a}})}$

mit ${\displaystyle {\bar {a}}=a/M}$, wodurch die beobachteten Längenmaßstäbe hier in Einheiten von ${\displaystyle GM/c^{2}}$ betrachtet werden. Der beobachtete Radius des Schattens in Polarkoordinaten ist damit ${\displaystyle r_{\mathrm {obs} }=A\cos \vartheta +B}$. Aus der polaren Ansicht bei ${\displaystyle \theta =0}$ rotiert das Schwarze Loch aus der Sicht des Beobachters gegen den Uhrzeigersinn und aus dem Blickwinkel ${\displaystyle \theta =\pi }$ im Uhrzeigersinn. Der beobachtete Radius des Schattens eines nichtrotierenden Schwarzen Lochs liegt damit bei bzw. knapp über ${\displaystyle {\sqrt {27}}GM/c^{2}\approx 5GM/c^{2}}$. Das trifft auch für rotierende Schwarze Löcher zu, wenn diese aus der polaren Perspektive betrachtet werden. Je weiter die Position des Beobachters in der äquatorialen Ebene liegt, umso stärker wird die asymmetrische Verzerrung. Auf der dem Beobachter entgegenrotierenden Seite wird der Schatten eingedellt und auf der von ihm wegrotierenden Seite ausgebeult.

Durch die nichteuklidische Geometrie ergibt sich als Umfang nicht ${\displaystyle U=2\pi \ r}$, sondern in axialer Richtung

${\displaystyle U_{\phi }=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {|g_{\phi \phi }|}}\ \mathrm {d} \phi =2\pi {\bar {R}}}$

mit dem axialen Radius der Gyration[22][6]

${\displaystyle {\bar {R}}={\sqrt {|g_{\phi \phi }|}}={\sqrt {\frac {\chi }{\Sigma }}}\ \sin \theta ,}$

der am äußeren Ereignishorizont auf der Äquatorebene für alle ${\displaystyle a}$ mit dem Schwarzschildradius ${\displaystyle r_{\mathrm {s} }}$ zusammenfällt.

In polodialer Richtung gilt

${\displaystyle U_{\theta }=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {|g_{\theta \theta }|}}\ \mathrm {d} \theta =4{\sqrt {a^{2}+r^{2}}}\ \xi \left({\frac {a^{2}}{a^{2}+r^{2}}}\right)}$,

wobei die Funktion ${\displaystyle \xi }$ das elliptische Integral 2. Art bezeichnet. Die Oberfläche des Ereignishorizonts ist nicht gleich ${\displaystyle 4\pi r_{\text{H}}^{2}}$, sondern[29]

${\displaystyle A_{\mathrm {H} }=\int _{0}^{\pi }2\pi {\bar {R}}\ {\sqrt {\Sigma }}\,\mathrm {d} \theta =8\pi Mr_{\text{H}}.}$

Prograde Bahn eines Testkörpers um ein rotierendes Schwarzes Loch mit ${\displaystyle a=0{,}9\ M}$

Retrograde Bahn bei einem Spinparameter von ${\displaystyle a=0{,}95\ M}$

Der Einfachheit halber verwendet man für numerische Berechnungen der Bahnen von Testkörpern für massebehaftete Testteilchen anstelle der Masse ${\displaystyle \mu }$ einen auf eins normierten Parameter ${\displaystyle \epsilon }$ und für masselose Teilchen wie Photonen ${\displaystyle \epsilon =0}$.

Mit den Bezeichnungen von oben gilt:[28]

${\displaystyle p_{t}=-E}$

${\displaystyle p_{r}={\frac {\Sigma }{\Delta }}{\dot {r}}}$

${\displaystyle p_{\theta }=\Sigma {\dot {\Theta }}}$

${\displaystyle p_{\phi }=L_{z}}$

Diese Komponenten werden auch im Hamilton-Formalismus verwendet. Der Punkt über den Variablen steht im Fall eines massebehafteten Testkörpers für das Differenzieren nach der Eigenzeit ${\displaystyle \tau }$ und im Fall eines masselosen Testteilchens nach dem affinen Parameter, der anstatt der Eigenzeit die im System der ZAMOs lokal aufintegrierte Strecke des Photons bezeichnet. Dabei ist ${\displaystyle p_{\theta }}$ die polare ${\displaystyle \theta }$-, ${\displaystyle p_{r}}$ die radiale ${\displaystyle r}$- und das konstante ${\displaystyle p_{\phi }=L_{z}}$ die azimutale ${\displaystyle \phi }$-Komponente.[44]

Da sich die Gleichungen des vorherigen Abschnittes nur bedingt für eine numerische Berechnung der Bahnen von Testkörpern eignen, verwendet man besser Gleichungen, die sich aus dem Hamilton-Formalismus ergeben.[42] Mit den oben angegebenen Abkürzungen und Konstanten erhält man so ein System aus gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung.[28][45]

${\displaystyle {\dot {t}}={\frac {2\ E\ r\ \left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ L_{z}\ r}{\Delta \ \Sigma }}+E={\frac {\varsigma }{\sqrt {1-v^{2}}}}}$

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {\Delta \ p_{r}}{\Sigma }}}$

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {p_{\theta }}{\Sigma }}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {2\ a\ E\ r+L_{z}\ \csc ^{2}\theta \ (\Sigma -2r)}{\Delta \ \Sigma }}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{t}=0}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{r}={\frac {(1-r)\left(\epsilon \ \left(a^{2}+r^{2}\right)+k\right)+2\ E^{2}\ r\left(a^{2}+r^{2}\right)-2\ a\ E\ L_{z}-\Delta \ \epsilon \ r}{\Delta \ \Sigma }}-{\frac {2\ p_{r}^{2}\ (r-1)}{\Sigma }}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{\theta }={\frac {\sin \theta \ \cos \theta \left(L_{z}^{2}/\sin ^{4}\theta -a^{2}\left(E^{2}-\epsilon \right)\right)}{\Sigma }}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{\phi }=0}$

mit

${\displaystyle k=a^{2}\left(E^{2}-\epsilon \right)+L_{z}^{2}+Q.}$

Längen werden in ${\displaystyle GM/c^{2}}$, Zeiten in ${\displaystyle GM/c^{3}}$ und der Spinparameter in ${\displaystyle a=Jc/(GM^{2})}$ gemessen. Die vier Konstanten der Bewegung sind wie bereits erwähnt ${\displaystyle E,L_{z},Q}$ und ${\displaystyle \epsilon }$.[28]

${\displaystyle Q}$ ist die nach ihrem Entdecker Brandon Carter benannte Carter-Konstante:[41][28][8][42]

${\displaystyle Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}(\mu ^{2}-E^{2})+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)=a^{2}\ (\mu ^{2}-E^{2})\ \sin ^{2}I+L_{z}^{2}\ \tan ^{2}I}$

${\displaystyle I}$ ist der Bahnneigungswinkel des Testteilchens.[4][8]

Energie und Drehimpuls können auch aus den Eigenzeitableitungen der Koordinaten oder der lokalen Geschwindigkeit gewonnen werden:[22]

${\displaystyle E=\ -g_{tt}\ {\dot {t}}\ -\ g_{t\phi }\ {\dot {\phi }}=\left(1-{\frac {2r}{\Sigma }}\right){\dot {t}}+{\frac {2ar}{\Sigma }}{\dot {\phi }}\sin ^{2}\theta }$

${\displaystyle L_{z}=g_{\phi \phi }\ {\dot {\phi }}\ +\ g_{t\phi }\ {\dot {t}}={\frac {\sin ^{2}\theta \ ({\dot {\phi }}\ \Delta \ \Sigma -2\ a\ E\ r)}{\Sigma -2\ r}}}$

Im Fall eines massebehafteten Testpartikels erhält man die insgesamt zurückgelegte physikalische Wegstrecke mit dem Integral der Eigenzeit über die lokale 3er-Geschwindigkeit:

${\displaystyle \mathrm {d} {\bar {s}}=\mathrm {d} \tau \ \mathrm {d} v\ \gamma \ ,\ \ {\bar {s}}=\int _{0}^{\tau }v(\tau ')\ \gamma \,\mathrm {d} \tau '}$ mit dem Lorentzfaktor ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {(1-v^{2})}}={\dot {t}}/\varsigma }$

Dabei sind ${\displaystyle v^{r}}$, ${\displaystyle v^{\theta }}$ und ${\displaystyle v^{\phi }}$ die Komponenten der lokalen 3er-Geschwindigkeit[40]

${\displaystyle v={\sqrt {(v^{r})^{2}+(v^{\theta })^{2}+(v^{\phi })^{2}}}={\sqrt {(v^{x})^{2}+(v^{y})^{2}+(v^{z})^{2}}}}$

entlang der jeweiligen Achsen, und es ergibt sich[22]

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {\chi (E-L_{z}\ \Omega )^{2}-\Delta \Sigma }{\chi (E-L_{z}\ \Omega )^{2}}}}={\frac {\sqrt {{\dot {t}}^{2}-\varsigma ^{2}}}{\dot {t}}}}$.

Die lokale Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ eines Testkörpers wird relativ zu dem korotierenden Beobachter (ZAMO) gemessen.

Die gravitative Zeitdilatation zwischen einem stationären ZAMO mit festem ${\displaystyle r}$ und ${\displaystyle \theta }$ und einem stationären Beobachter (Koordinatenbuchhalter), der sehr weit vom Schwarzen Loch entfernt ist, berechnet sich gemäß den definierenden Eigenschaften des ZAMO (${\displaystyle L_{z}={\dot {r}}={\dot {\theta }}=0}$) zu:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}={\sqrt {\frac {-g_{\phi \phi }}{g_{tt}g_{\phi \phi }-g_{t\phi }^{2}}}}}$