Kernoperator

Über einer gegebenen Grundmenge ${\displaystyle X}$ ist ein Kernoperator eine intensive, monotone, idempotente Abbildung ${\displaystyle K\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$ auf der Potenzmenge von ${\displaystyle X}$, die jeder Teilmenge ${\displaystyle A\subseteq X}$ eine weitere Teilmenge von ${\displaystyle X}$, nämlich den Kern ${\displaystyle K(A)\subseteq X}$, zuordnet, wobei folgende Bedingungen erfüllt sind:

Intensivität: ${\displaystyle K(A)\subseteq A}$, das heißt: Der Kern von ${\displaystyle A}$ ist in der Menge ${\displaystyle A}$ selbst enthalten.

Monotonie bzw. Isotonie: ${\displaystyle A\subseteq B\ \Rightarrow \ K(A)\subseteq K(B)}$, das heißt: Wenn ${\displaystyle A}$ Teilmenge von ${\displaystyle B}$ ist, so gilt das entsprechend auch für ihre Kerne.

Idempotenz: ${\displaystyle K(K(A))=K(A)}$, das heißt: Bildet man vom Kern einer Menge nochmals den Kern, so bleibt dieser unverändert.

Aufgrund der beiden anderen Anforderungen genügt es auch, an Stelle der Idempotenz nur ${\displaystyle K(A)\subseteq K(K(A))}$ zu fordern, das heißt: Bildet man vom Kern einer Menge nochmals den Kern, so wird nichts mehr weggenommen.

Äquivalent zu den drei genannten Einzelforderungen ist folgende. ${\displaystyle K\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$ heißt Kernoperator, wenn für alle ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ gilt:

${\displaystyle K(A)\subseteq K(B)\Longleftrightarrow K(A)\subseteq B}$

Ein Kernsystem ist ein unter beliebiger Vereinigungsmengenbildung abgeschlossenes Mengensystem, d. h., ein Kernsystem über einer Menge ${\displaystyle X}$ ist eine aus Teilmengen der Grundmenge ${\displaystyle X}$ bestehende Menge ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ mit folgenden Eigenschaften:

${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ enthält die leere Menge: ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {S}}}$.

Für jede nichtleere Teilmenge ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ist die Vereinigung der Elemente von ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ein Element aus ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, oder kurz: ${\displaystyle \forall {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}},\,{\mathcal {T}}\neq \emptyset \colon \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}}$.

Wegen ${\displaystyle \bigcup \emptyset =\emptyset }$ lassen sich die beiden genannten Bedingungen zu einer einzigen äquivalenten Bedingung vereinfachen:

Für jede Teilmenge ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ist die Vereinigung der Elemente von ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ein Element aus ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, oder kurz: ${\displaystyle \forall {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {S}}\colon \bigcup {\mathcal {T}}\in {\mathcal {S}}}$.