Kelley-Raum

Ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ heißt Kelley-Raum, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• ${\displaystyle X}$ ist ein Hausdorff-Raum
• Eine Teilmenge ${\displaystyle A\subset X}$ ist genau dann abgeschlossen, wenn die Durchschnitte ${\displaystyle A\cap K}$ für alle kompakten Teilmengen ${\displaystyle K\subset X}$ abgeschlossen sind.

Die Begriffe k-Raum oder kompakt erzeugter Raum sind in der Literatur häufiger anzutreffen, das unten genannte Lehrbuch von J. Cigler und H. C. Reichel verwendet den Begriff Kelley-Raum.

• Lokalkompakte Räume sind Kelley-Räume.
• Hausdorff-Räume, die dem ersten Abzählbarkeitsaxiom genügen, sind Kelley-Räume.

Ist ${\displaystyle (X,\tau )}$ ein Hausdorff-Raum und definiert man ein System ${\displaystyle \tau _{K}}$ von Teilmengen durch ${\displaystyle U\in \tau _{K}:\Leftrightarrow (X\setminus U)\cap K}$ ist abgeschlossen für alle kompakten Teilmengen ${\displaystyle K\subset X}$, so ist ${\displaystyle \tau _{K}}$ eine feinere Topologie auf ${\displaystyle X}$ (das heißt ${\displaystyle \tau \subset \tau _{K}}$), die ${\displaystyle X}$ zu einem Kelley-Raum macht. Der topologische Raum ${\displaystyle (X,\tau _{K})}$ heißt die Kelleyfizierung von ${\displaystyle X}$ und wird mit ${\displaystyle k(X)}$ bezeichnet.

${\displaystyle (X,\tau )}$ ist genau dann ein Kelley-Raum, wenn ${\displaystyle \tau =\tau _{K}}$ gilt. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle \tau _{K}}$ die feinste Topologie auf ${\displaystyle X}$, die auf allen kompakten Teilmengen die Ausgangstopologie erzeugt.

Ist ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ eine stetige Abbildung zwischen Hausdorffräumen, so ist sie auch stetig als Abbildung ${\displaystyle f:k(X)\rightarrow k(Y)}$. Wir haben damit einen Funktor ${\displaystyle k:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}}$ von der Kategorie der Hausdorffräume in die Kategorie der Kelley-Räume, mit jeweils den stetigen Abbildungen als Morphismen. Ist ${\displaystyle I:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {H}}}$ die Einbettung, so ist ${\displaystyle I}$ links-adjungiert zu ${\displaystyle k}$.

• Ein Hausdorff-Raum und seine Kelleyfizierung haben dieselben kompakten Mengen.
• Ist ${\displaystyle X}$ ein Kelley-Raum, so gilt für jeden anderen topologischen Raum ${\displaystyle Y}$ und jede Abbildung ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$: ${\displaystyle f}$ ist stetig ${\displaystyle \Leftrightarrow f|_{K}}$ ist stetig für alle kompakten Teilmengen ${\displaystyle K\subset X}$. (Umgekehrt ist ein Hausdorff-Raum mit dieser Eigenschaft ein Kelley-Raum; betrachte dazu ${\displaystyle {\rm {id}}_{X}:X\rightarrow k(X)}$.)
• Abgeschlossene Unterräume von Kelley-Räumen sind wieder Kelley-Räume, die Kelley-Eigenschaft vererbt sich nicht auf beliebige Unterräume. Der Arens-Fort-Raum ist kein Kelley-Raum, aber Unterraum eines kompakten und damit eines Kelley-Raums.
• Die Kategorie der Kelley-Räume ist eine volle Unterkategorie der Kategorie der Hausdorffräume.
• Ist von den Kelley-Räumen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ einer lokalkompakt, so ist der Produktraum ${\displaystyle X\times Y}$ ein Kelley-Raum. Das Produkt von beliebigen Kelley-Räumen ist im Allgemeinen kein Kelley-Raum. Setzt man allerdings ${\displaystyle X\times _{k}Y:=k(X\times Y)}$, so ist ${\displaystyle \times _{k}}$ ein Produkt in der Kategorie der Kelley-Räume.
• Hausdorffsche Quotienten von Kelley-Räumen sind wieder Kelley-Räume.
• Einer der Gründe, warum Kelley-Räume in der algebraischen Topologie verwendet werden, ist folgende Aussage: Sind ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Kelley-Räume und bezeichnet ${\displaystyle C_{co}(X,Y)}$ den Raum der stetigen Funktionen ${\displaystyle X\to Y}$ mit der kompakt-offenen Topologie, so ist folgende Auswertungsabbildung stetig:

${\displaystyle k(C_{co}(X,Y))\times _{k}X\rightarrow Y,\,\,(f,x)\mapsto f(x)}$

Folgende Charakterisierung der Kelley-Räume geht auf D. E. Cohen zurück und zeigt, dass man die Kelley-Räume als Verallgemeinerung der lokalkompakten Räume betrachten kann:

• Ein Hausdorffraum ist genau dann ein Kelley-Raum, wenn er Quotient eines lokalkompakten Raums ist.

• Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6.
• James Dugundji: Topology (= Allyn and Bacon Series in Advanced Mathematics). Allyn & Bacon, Boston MA 1966 (Auch: Brown, Dubuque IA 1989, ISBN 0-697-06889-7).
• Vasudevan Srinivas: Algebraic K-Theory (= Progress in Mathematics. Band 90). 2nd Edition Auflage. Birkhauser, Boston MA u. a. 1996, ISBN 0-8176-3702-8.