Kardar-Parisi-Zhang-Gleichung

Mit der Notation ${\displaystyle \Delta _{x}=\nabla _{x}^{2}}$ meinen wir den Laplace-Operator und mit ${\displaystyle \nabla _{x}}$ den Nabla-Operator, welche beide nach ${\displaystyle {\vec {x}}}$ abgeleitet sind.

Die KPZ-Gleichung ist definiert als[1]

${\displaystyle \partial _{t}h({\vec {x}},t)=\nu \Delta _{x}h+{\frac {\lambda }{2}}(\nabla _{x}h)^{2}+{\sqrt {D}}\eta ({\vec {x}},t)}$

wobei die Lösung ${\displaystyle h({\vec {x}},t)}$ ein Höhenfeld der Oberfläche mit Raumkoordinate ${\displaystyle {\vec {x}}}$ und Zeitkoordinate ${\displaystyle t}$ ist.

Die Gleichung besteht aus drei Komponenten, einem Glättungsterm, einem Wachstumsterm und einem stochastischen Rauschen

• ${\displaystyle \nu \nabla _{x}^{2}h}$ ein glättender Diffusionsterm, dieser dient zur Relaxation durch die Oberflächenspannung ${\displaystyle \nu }$.
• ${\displaystyle {\frac {\lambda }{2}}(\nabla _{x}h)^{2}}$ ein nicht-linear wachsender Ausdruck,
• ${\displaystyle \eta ({\vec {x}},t)}$ ein raumzeitliches weißes gaußsches Rauschen; d. h. es gilt ${\displaystyle \mathbb {E} [\eta ]=0}$ und ${\displaystyle \operatorname {Var} [\eta ]=2\delta (t-t')\delta ^{d}({\vec {x}}-{\vec {x}}')}$.

Die Gleichung trifft man auch in folgender Form an

${\displaystyle \partial _{t}h=\nu \Delta _{x}h+{\frac {\lambda }{2}}(\nabla _{x}h)^{2}+{\tilde {\eta }}}$

wobei ${\displaystyle \mathbb {E} [{\tilde {\eta }}]=0}$ und ${\displaystyle \operatorname {Var} [{\tilde {\eta }}]=2D\delta (t-t')\delta ^{d}({\vec {x}}-{\vec {x}}')}$.

Parametrisierung

• ${\displaystyle \nu ,\lambda ,D,d}$ sind Parameter. ${\displaystyle D}$ bezeichnet die Amplitude des Rauschens und ${\displaystyle d}$ ist die Dimension des Modells. ${\displaystyle \nu }$ ist die Diffusivität und ${\displaystyle \lambda }$ die Stärke der Wachstumsgeschwindigkeit.

Die Standard-Parametrisierung für den eindimensionalen Fall ${\displaystyle d=1}$ ist ${\displaystyle \nu ={\tfrac {1}{2}},\lambda =1,D=1}$, somit

${\displaystyle \partial _{t}h={\frac {1}{2}}\Delta _{x}h+{\frac {1}{2}}(\nabla _{x}h)^{2}+\eta .}$

Eine Schwierigkeit der KPZ-Gleichung ist, dass alle invarianten Maße Verteilungen der brownschen Bewegungen der Form ${\displaystyle B(x)+N}$ sind, wobei ${\displaystyle N}$ eine gerade Linie (ein Shift) bezeichnet.

Wir betrachten die eindimensionale ${\displaystyle (1+1)}$ KPZ-Gleichung. Betrachtet man die skalierte KPZ-Lösung

${\displaystyle h_{\varepsilon ;b,z}(t,x)=\varepsilon ^{b}h(\varepsilon ^{-z}t,\varepsilon ^{-1}x),}$

dann existieren zwei schwache Skalierungen, unter der die KPZ-Gleichung invariant ist. Eine weitere interessante Skalierung erhält man mit den Parametern ${\displaystyle b=1/2}$ und ${\displaystyle z=3/2}$, welche 1:2:3-Skalierung genannt wird. Zentriert man den Prozess unter dieser Skalierung

${\displaystyle {\overline {h}}_{\varepsilon }=h_{\varepsilon ;1/2,3/2}-C_{\varepsilon }t}$

gemäß den Initialbedingungen, dann konvergiert ${\displaystyle {\overline {h}}_{\varepsilon }}$ für ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ in Verteilung zu einem universellen Prozess, dem sogenannten KPZ-Fixpunkt. Der Prozess wird mit ${\displaystyle ({\mathfrak {h}}(t,x))_{t\geq 0,x\in \mathbb {R} }}$ notiert.

Die eindimensionale KPZ-Gleichung gehört zu einer großen Klasse von stochastischen Modellen, welche KPZ-Universalitätsklasse genannt wird. Die KPZ-Universalitätsvermutung behauptet nun, dass jedes in der KPZ-Universalitätsklasse liegende Modell unter der 1:2:3-Skalierung in Verteilung zum KPZ-Fixpunkt konvergiert

${\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}(h(c_{1}\varepsilon ^{-3/2}t,c_{2}\varepsilon ^{-1}x)-c_{3}\varepsilon ^{-3/2}t)\;{\stackrel {(d)}{=}}\;{\mathfrak {h}}(t,x)}$

(wobei die Konstanten variieren) und nur von der Initialbedingung abhängt

${\displaystyle {\mathfrak {h}}(0,x):=\lim \limits _{\varepsilon \to 0}\varepsilon ^{1/2}h(0,c_{2}\varepsilon ^{-1}x).}$[4][5]

Der KPZ-Fixpunkt ist invariant unter der 1:2:3-Skalierung, die KPZ-Gleichung ist es nicht.

1. Tomohiro Sasamoto, Herbert Spohn: One-Dimensional Kardar-Parisi-Zhang Equation: An Exact Solution and its Universality. In: Physical Review Letters. Nr. 23, 2010, doi:10.1103/physrevlett.104.230602.
2. Lorenzo Bertini und Giambattista Giacomin: Stochastic Burgers and KPZ Equations from Particle Systems. In: Springer Verlag (Hrsg.): Communications in Mathematical Physics. Band 183, 1997, S. 580, doi:10.1007/s002200050044 (projecteuclid.org).
3. Martin Hairer: Solving the KPZ equation. 2012, arxiv:1109.6811.
4. Ivan Corwin, Jeremy Quastel und Daniel Remenik: Renormalization Fixed Point of the KPZ Universality Class. In: Springer Science and Business Media LLC (Hrsg.): Journal of Statistical Physics. Band 160, Nr. 4, 2015, S. 815--834, doi:10.1007/s10955-015-1243-8.
5. Daniel Remenik: Integrable fluctuations in the KPZ universality class. Hrsg.: arXiv. 2022, doi:10.48550/ARXIV.2205.01433.