Kaprekar-Konstante

Um die Kaprekar-Konstante einer drei-, vier-, sechs-, acht-, neun- oder zehnstelligen Dezimalzahl, bei der nicht alle Ziffern gleich sein dürfen, zu berechnen, ordnet man deren Ziffern einmal so, dass die größtmögliche Zahl (${\displaystyle a}$) entsteht, und dann (ggf. mit führenden Nullen) so, dass die kleinstmögliche Zahl (${\displaystyle b}$) entsteht. Dann bildet man die Differenz ${\displaystyle d=a-b}$ und wendet das Verfahren auf das Resultat ${\displaystyle d}$ erneut an. Das Verfahren mündet irgendwann in einen Zykel, und wenn dieser die Länge eins hat, also eine Zahl ${\displaystyle x}$ ständig wiederholt wird, nennt man ${\displaystyle x}$ eine Kaprekar-Konstante.

Für zwei-, fünf- und siebenstellige Zahlen gibt es keine Kaprekar-Konstanten.

Die Kaprekar-Konstante für dreistellige Zahlen beträgt stets ${\displaystyle 495}$.

Beispiel 1:

Ausgangszahl: ${\displaystyle {734}}$
${\displaystyle {\begin{aligned}743-347&=396\\963-369&=594\\954-459&=495\end{aligned}}}$

Beispiel 2:

Ausgangszahl: ${\displaystyle {29=(029)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}920-029&=891\\981-189&=792\\972-279&=693\\963-369&=594\\954-459&=495\end{aligned}}}$

Die Kaprekar-Konstante für vierstellige Zahlen beträgt stets ${\displaystyle 6174}$. Der Zahlenraum schließt die Zahlen 1000 - 9998 ein, wobei alle Zahlen mit vier identischen Ziffern nicht Teil der Menge sind. Daraus resultierend ergeben sich 8991 mögliche Ausgangszahlen. Davon sind 357 mit einem einzigen Schritt lösbar, 519 mit zwei, 2124 mit drei, 1124 mit vier, 1379 mit fünf, 1508 mit sechs und 1980 mit sieben Schritten.

Beispiel 1:

Ausgangszahl: ${\displaystyle {4783}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}8743-3478&=5265\\6552-2556&=3996\\9963-3699&=6264\\6642-2466&=4176\\7641-1467&=6174\end{aligned}}}$

Beispiel 2:

Ausgangszahl: ${\displaystyle {1}}$ (=0001)

${\displaystyle {\begin{aligned}1000-0001&=0999\\9990-0999&=8991\\9981-1899&=8082\\8820-0288&=8532\\8532-2358&=6174\end{aligned}}}$

• Bei n-stelligen Zahlen, bei der alle Ziffern gleich sind, führt das beschriebene Verfahren, sofern man es für n-stellige Zahlen durchführt, immer auf die Zahl 0.

Beispiel 1:

Ausgangszahl: ${\displaystyle {1111}}$ bei Anwendung für 4-stellige Zahlen

${\displaystyle {1111-1111=0000}}$

Beispiel 2:

Ausgangszahl: ${\displaystyle {1111}}$ bei Anwendung für 5-stellige Zahlen

${\displaystyle {\begin{aligned}11110-01111&=09999\\99990-09999&=89991\\99981-18999&=80982\\98820-02889&=95931\\99531-13599&=85932\\98532-23589&=74943\\97443-34479&=62964\\96642-24669&=71973\\97731-13779&=83952\\98532-23589&=74943\end{aligned}}}$

womit man in einem Zykel mit 74943 angekommen ist (siehe 4 Zeilen vorher)

• Für zwei-, fünf- und siebenstellige Zahlen gibt es keine Kaprekar-Konstanten.
• Bei zweistelligen Zahlen führt das beschriebene Verfahren zu folgendem Zyklus:

9 → 81 → 63 → 27 → 45 → 9

• Bei fünfstelligen Zahlen führt das beschriebene Verfahren zu einem der folgenden drei Zyklen:

71973 → 83952 → 74943 → 62964 → 71973 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 33363)

75933 → 63954 → 61974 → 82962 → 75933 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 33364)

59994 → 53955 → 59994 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 33371)

• Bei sechsstelligen Zahlen führt das beschriebene Verfahren entweder zu einer von zwei Kaprekar-Konstanten oder zu einem Zykel der Länge 7:

549945 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 333838)

631764 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 333718)

420876 → 851742 → 750843 → 840852 → 860832 → 862632 → 642654 → 420876 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 333717)

• Bei siebenstelligen Zahlen führt das beschriebene Verfahren zu einem Zykel der Länge 8:

7509843 → 9529641 → 8719722 → 8649432 → 7519743 → 8429652 → 7619733 → 8439552 → 7509843

• Bei achtstelligen Zahlen führt das beschriebene Verfahren entweder zu einer von zwei Kaprekar-Konstanten oder zu einem Zykel der Länge 3 oder der Länge 7:

63317664 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 33371999)

97508421 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 33372113)

64308654 → 83208762 → 86526432 → 64308654 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 33372000)

43208766 → 85317642 → 75308643 → 84308652 → 86308632 → 86326632 → 64326654 → 43208766 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 33372001)

• Bei neunstelligen Zahlen führt das beschriebene Verfahren entweder zu einer von zwei Kaprekar-Konstanten oder (häufiger) zu einem Zykel der Länge 14:

554999445 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 333722277)

864197532 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 333722294)

865296432 → 763197633 → 844296552 → 762098733 → 964395531 → 863098632 → 965296431 → 873197622 → 865395432 → 753098643 → 954197541 → 883098612 → 976494321 → 874197522 → 865296432 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 333722278)

• Bei zehnstelligen Zahlen führt das beschriebene Verfahren entweder zu einer von drei Kaprekar-Konstanten oder (häufiger) zu einem von fünf Zykeln der Länge 3 bzw. der Länge 7:

6333176664 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 3337239999)

9753086421 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 3337240018)

9975084201 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 3337400599)

8655264432 → 6431088654 → 8732087622 → 8655264432 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 3337240004)

8653266432 → 6433086654 → 8332087662 → 8653266432 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 3337240001)

8765264322 → 6543086544 → 8321088762 → 8765264322 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 3337240023)

9775084221 → 9755084421 → 9751088421 → 9775084221 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 3337240017)

8633086632 → 8633266632 → 6433266654 → 4332087666 → 8533176642 → 7533086643 → 8433086652 → 8633086632 (zum Beispiel bei der Ausgangszahl 3337240000)

Es folgt eine Darstellung, welche dreistelligen Zahlen wie in der Zahl 495 enden:

Dreistellige Zahlen enden in der Kaprekar-Konstanten 495

Es folgt eine Darstellung, welche vierstelligen Zahlen wie in der Zahl 6174 enden:

Vierstellige Zahlen enden in der Kaprekar-Konstanten 6174

Die kleinsten Kaprekar-Konstanten sind die folgenden:

0, 495, 6174, 549945, 631764, 63317664, 97508421, 554999445, 864197532, 6333176664, 9753086421, 9975084201, 86431976532, 555499994445, 633331766664, 975330866421, 997530864201, 999750842001, 8643319766532, 63333317666664, … (Folge A099009 in OEIS)

• Kaprekar-Zahl

• Yutaka Nishiyama: Mysterious number 6174. Plus magazine, März 2006
• Eric W. Weisstein: Kaprekar-Konstante. In: MathWorld (englisch).
• Kaprekar-Serien für 2- bis 10-stellige Zahlen. (englisch)
• Kaprekar-Serien für 11- bis 20-stellige Zahlen. (englisch)
• Grafische Darstellung von Kaprekar-Serien. (englisch)
• Interaktive Baumansicht von Kaprekar-Serien mit beliebiger Basis und Anzahl Stellen. Dorfuchs, Januar 2023